§ 3. Бинарные отношения и их основные свойства

Пусть А и В – непустые множества. Произвольное непустое подмножество     AB называется бинарным отношением между элементами множеств А и В. Для удобства вместо записи (a; b)   пишут кратко a  b и говорят, что элементы a  A и b  B связаны бинарным отношением . Если А = В, то говорят, что бинарное отношение  задано на множестве А.

Для бинарного отношения     AB определены два множества: область определения D() = {a  A |  b  B a  b} и область значений Im() = {b  B |  a  A a  b} этого бинарного отношения , которые называют также областью допустимых значений и образом бинарного отношения  соответственно.

Способы задания бинарных отношений

1. перечисление элементов (конечного) бинарногог отношения :

 = {(a₁ ; b₁ ), … , (a_n ; b_n)}  AB

Пример. Если А = {0, 3, 5}, B = {1, 2, 3}, то

 = {(0; 1), (0; 2), (3; 3), (3; 2)}  AB

является бинарным отношением между элементами множеств А и В c областью определения D() = {0, 3} (в этом множестве собраны все первые компоненты пар, участвующих в ) и областью значений Im() = {1, 2, 3} (в этом множестве собраны все вторые компоненты пар, участвующих в ).

2. выделение бинарного отношения  в множестве АВ с помощью характеристического свойства P(x, y):

 = {(a; b)  AB | P(a, b) = 1} или a  b  P(a, b) = 1 (a  A, b  B)

Характеристическое свойство бинарного отношения  – это такой предикат, область истинности которого совпадает с  (т.е. P(a, b) = 1 тогда и только тогда, когда a  b).

Примеры: 1. Бинарное отношение предыдущего примера можно задать, например, так:  = {(a; b)  AB | (a < 5)  (a + b  3)  (ab  3)} или a  b  (a < 5)  (a + b  3)  (ab  3) (a  {0, 3, 5}, b  {1, 2, 3}).

2. Одно и то же бинарное отношение можно задать с помощью нескольких характеристических свойств. Например, бинарное отношение предыдущего примера можно задать и так:

a  b  (a = 0  b = 1)  (a = 0  b = 2)  (a = 3  b = 2)  (a = 3  b = 3)

(a  {0, 3, 5}, b {1, 2, 3}).

3. Точно так же можно, не задумываясь, выписать характеристическое свойство для любого бинарного отношения  = {(a₁ ; b₁), … , (a_n ; b_n )}  AB с конечным числом элементов:

a  b  (a = a₁  b = b₁)  …  (a = a_n  b = b_n) (a  A, b  B).

Здесь очевидно будем иметь D() = {a₁ , … , a_n }, Im() = {b₁ , … , b_n }.

4. Задание a  b  a² + b² = –1 (a, b  R) не определяет бинарного отношения, т.к. среди действительных чисел нет ни одной пары (a; b), удовлетворяющей указанному характеристическому свойству. Бинарное отношение обязательно непусто !!

5. Бинарное отношение  = {(a; b)  RR | a² + b² = 1} бесконечно. Для него D() = = [–1; 1] = Im().

6. Для бинарного отношения с заданием a  b  a² = b² (a  R, b  Z) получаем D() = Z (а не R !), Im() = Z. Это отношение можно задать и так: a  b  a = ±b (a  R, b  Z).

3. с помощью графа (в основном для конечных отношений):

Неформально говоря, граф – это совокупность вершин, изображаемых точками, и рёбер или стрелок, соединяющих некоторые вершины. Для задания бинарного отношения  между элементами множеств A и B в качестве вершин берут множество всех элементов, принадлежащих A или В, т.е. множество A  B. При этом две вершины a  A и b  B соединяют стрелкой тогда и только тогда, когда a  b. Иногда для удобства стрелки подписываются, но делать это не обязательно: рисунок всё показывает сам.

Задание бинарного отношения в виде графа более наглядно, нежели формальные его задания. Оно позволяет сразу определить области определения и значения этого бинарного отношения: областью определения будет множество всех тех вершин a  A, из которых выходит хотя бы одна стрелка, а областью значений – множество всех тех вершин b  B, в которые входит хотя бы одна стрелка.

Примеры: 1. Для бинарного отношения из предыдущего примера 1 задание в виде графа будет выглядеть так:

Здесь видны множестваА = {0, 3, 5}, B = {1, 2, 3}, D() = {0, 3}, Im() = В.

Замечание: необходимо на графе изображать все вершины, а не только те, в которые входят, или из которых выходят стрелки. Если в этом примере убрать вершину 5, то множество А изменится, и получится совсем другое бинарное отношение !

2. Если бинарное отношение задано на множестве А, т.е. А = В, то не обязательно рисовать отдельно две копии вершин множества А, стрелками можно соединять вершины внутри множества А. Например, рисунок слева задаёт бинарное отношение на множестве А = {0, 1, 2, 5, 6} :  = {(0; 0), (0; 2), (5; 6), (6; 1)}  АА.

4. с помощью графика на декартовой плоскости (в основном для числовых множеств А и В):

При таком задании бинарного отношения множествоА изображается (иногда условно) на оси Ox, а множество В – на оси Oy. Каждая пара (a; b), где a  A, b  B, изображается в виде точки на декартовой плоскости с координатами (a; b). Область (множество точек) в декартовом прямоугольнике АВ, образованная всеми точками с координатами (a; b), где a связано с b бинарным отношением , называется графиком бинарного отношения  : Г() = {(a; b)  AB | a  b}.

Примеры: 1. Бинарное отношение  = {(a; b)  RR | a = b} может быть задано графиком 1 на рисунке ниже (прямая y = x).

2. График 2 определяет отношение  = {(0; 1), (0; 2), (3; 1), (3; 2)}  AB, где А = {0, 1, 3}, B = {1, 2, 3}.

3. График 3 определяет бинарное отношение, заданное характеристическим свойством a  b  a² + b² = 1 (a  R, b  R).

Все описанные способы задания бинарных отношений эквивалентны: от любого из них можно перейти к каждому из остальных. Конечно, это не всегда просто сделать по техническим причинам (например, не всегда можно нарисовать хороший график или придумать компактное характеристическое свойство), но в принципе возможно.

Примеры: 1. Для бинарного отношения, заданного выше графиком 2, сразу выписывается задание с помощью перечисления:  = {(0;1),(0;2),(3;1),(3;2)}  AB, где А = {0, 1, 3}, B = {1, 2, 3}. По нему легко нарисовать граф (слева) и выписать характеристическое свойство: a  b  (a – 1)(b – 3)  0 (a  {0, 1, 3}, b  {1, 2, 3}).

2. Если бинарное отношение  задано следующим графом на множестве N, то можно сразу нарисовать его график, задать это бинарное отношение выделением  = {(x;y) NN | y = x+1} и даже перечислить (несмотря на бесконечность )  = {(1; 2), (2; 3), (3; 4), …}.

Упражнения: 1. Задайте всеми возможными способами:

a)  = {(1; 3), (3; 5), (5; 7), …}  NN,

б) a  b  a  b² (a, b  N),

в)  = {(x; y)  NN | |y – x|  5}.

2. Задайте всеми возможными способами бинарные отношения по их графикам:

3. Задайте всеми способами бинарные отношения по их графам: