Глава II. Мощности множеств

Два множества Х и Y называются эквивалентными или равномощными, если существует взаимно однозначное отображение f : X  Y. Здесь функция f должна удовлетворять нескольким условиям, составляющим смысл понятия взаимно однозначное (биективное) отображение: она должна быть отображением, т.е. определена на любом элементе x  X ( x  X  y  Y y = f(x)), отображать множество X на всё множество Y , т.е. быть сюръективной или отображением “на” ( y  Y  x  X y = f(x)) и быть инъективной или вложением, т.е. отображать разные элементы множества X в разные элементы множества Y ( x₁ , x₂  X x₁  x₂  f(x₁)  f(x₂)). Для равномощных множеств X и Y будем писать |X| = |Y| – мощность множества X равна мощности множества Y.

Легко понять, что два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда в них одинаковое количество элементов. Действительно, если множества X = {x₁ , … , x_n } и Y = {y₁ , … , y_n } содержат одинаковое количество элементов, то функция f : X  Y, заданная правилом f(x_i) = y_i (1  i  n) будет взаимно однозначным отображением. Обратно: если есть взаимно однозначное отображении f : X = {x₁ , … , x_n }  {y₁ , … , y_m } = Y, то ввиду сюръективности f(X) = {f(x₁), … , f(x_n)} = {y₁ , … , y_m } = Y, причём все элементы множества f(X) различны между собой по условию инъективности. Следовательно, количество элементов во множестве f(X), равное числу элементов множества X, равно количеству элементов множества Y : n = m.

Поэтому можно сказать, что понятие эквивалентности множеств выражает идею равного количества элементов в них. Для бесконечных множеств эта идея нетривиальна, ибо часть множества может быть равномощна всему множеству. Например, множество натуральных чисел N равномощно своему подмножеству всех чётных чисел 2N = {2, 4, 6, … }: очевидно, что отображение f : N  2N, заданное для каждого n  N правилом f(n) = 2n, биективно.

§ 1. Счётные множества и множества мощности континуум

Рассмотрим следующую цепочку числовых множеств N  Z  Q  R  C и зададим вопрос об эквивалентности этих множеств.

Установим явно взаимно однозначное соответствие между числами множеств Z и N. Выпишем все целые числа … , –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … и присвоим каждому целому числу некоторый номер. Именно, число 0 получит номер 1, число 1 – номер 2, число –1 – номер 3, и.т.д. Можно даже вычислить номер в общем виде: номер натурального числа n будет равен 2n, а номер его отрицательного антипода –n будет равен 2n+1. Таким образом, мы “пересчитаем” все целые числа: каждому z  Z сопоставляется некоторое натуральное число (номер) и для каждого номера есть единственное целое число, которому этот номер приписывается.

Таким образом, множество Z эквивалентно множеству N.

Всякое множество X, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счётным и это обозначается так: |X| = ₀ ^*. В частности, |N| = ₀ . Если множество не является счётным, то говорят, что оно несчётно. Таким образом, множество X несчётно, если не существует взаимно-однозначного (биективного) отображения f : N  X.

Любое счётное множество можно “пересчитать”: пронумеровать все его элементы натуральными числами: если f : N  X – взаимно однозначное отображение, то можно представить множество X в виде

X = f(N) = {f(1), … , f(n), …} = {x₁ , … , x_n , …},

где x_n = f(n) – элемент множества X с номером n.

С этой точки зрения счётность множества Z выглядит естественной – ведь множество целых чисел дискретно на числовой прямой. На первый взгляд, рациональных чисел на прямой “намного больше”, чем целых. Они расположены всюду плотно: в любом сколь угодно малом интервале их бесконечно много. Но оказывается, что

Теорема Множество рациональных чисел Q счётно.

Доказательство: Сначала докажем счётность множества Q⁺ всех положительных рациональных чисел.

Выпишем все элементы Q⁺ таким образом: в первой строке – все числа со знаменателем 1 (т.е. целые), во второй – со знаменателем 2 и т.д. Каждое положительное рациональное число обязательно встретится в этой таблице, и не однажды (например, 1 = встречается в каждой строке).

				…
				…
				…
				…
…	…	…	…	…

А теперь пересчитаем эти числа, присваивая каждому числу номер (или пропускаем это число, если оно уже встречалось нам раньше в другой записи), двигаясь по зигзагообразной линии, как указано в таблице. Ясно, что мы обойдём всю таблицу (т.е. рано или поздно доберемся до любого из чисел) и каждому положительному рациональному числу присвоим номер. Итак, мы указали способ пронумеровать все числа из Q⁺, т.е. доказали, что Q⁺ счётно.

Теперь заметим, что Q = Q⁺  {0}  Q^– , где Q^– – множество всех отрицательных рациональных чисел. Поэтому для нумерации всех рациональных чисел можно применить приём, использованный при нумерации целых чисел. Именно, номер 1 присвоим рациональному числу 0, номер 2 = 21 – положительному рациональному числу с номером 1, а номер 3 = 21+1 – противоположному ему отрицательному числу, и т.д. Таким образом, номер 2n получит n-е число q_n из Q⁺, а номер 2n+1 – отрицательное число –q_n  Q^–.

Теорема доказана.

Сразу ответим на естественный вопрос: существуют ли несчётные множества ?

Теорема (о несчётности множеств R и [0; 1]). Множества R и [0; 1] несчётны.

Доказательство. Рассуждения для множеств R и [0; 1] проведём единообразно с помощью диагонального процесса Г. Кантора.

Каждое действительное число х  R можно записать в виде десятичной дроби х = ±А,₁₂ …_n … , где ±  {+, –}, А  N  {0} – целая часть, а ₁ , ₂ , … , _n , … – цифры от 0 до 9. Это представление неоднозначно: например, 1/2 = 0,50000… = 0,49999… ( в одном варианте записи, начиная со второй цифры после запятой, идут одни нули, а в другой – одни девятки). Чтобы запись была однозначной, мы будем выбирать первый вариант, т.е. не использовать десятичные представления с бесконечными “хвостами” из девяток. Тогда каждому числу будет соответствовать ровно одна десятичная запись.

Предположим, вопреки доказываемому, что удалось пересчитать все действительные числа. Тогда их можно расположить по порядку:

х₁ = ±А,x₁₁x₁₂x₁₃x₁₄ …

х₂ = ±В, x₂₁x₂₂x₂₃x₂₄ …

х₃ = ±С, x₃₁x₃₂x₃₃x₃₄ …

х₄ = ±D, x₄₁x₄₂x₄₃x₄₄ …

…………………..

В случае множества [0; 1] здесь будут только неотрицательные числа, у которых все целые части нулевые: А = В = С = D = … = 0.

Чтобы придти к противоречию, построим действительное число у  [0; 1], которое не содержится в построенном списке. Именно, положим y = 0, y₁y₂ … , где y_i = .

Например, если

x₁ = 2, 13453 …

х₂ = –3,40154 …

х₃ = 10,51961 …

х₄ = –13,67812 …

х₅ = 0,500013 …

………………… ,

то у = 0, 01101 … .

Построенное действительное число y не совпадает ни с одним из выписанных чисел, ведь оно отличается от каждого х_k по крайней мере k-ой цифрой десятичного разложения, а разным записям соответствуют различные числа.

Значит, предположив, что можно пересчитать все числа из R или из [0; 1], мы пришли к противоречию, указав число, которое “не сосчитано”. Следовательно, множества R и [0; 1] несчётны.

Теорема доказана.

Таким образом, множества R и N не являются эквивалентными, и N  R, поэтому всех действительных чисел действительно “больше”, чем натуральных. Говорят, что мощность множества R – мощность континуума, обозначаемая через c, больше, чем мощность N, обозначаемая через ₀ : |N| = ₀ < < c = |R|. В то же время, как было доказано выше, |Z| = |Q| = |N| =₀ .