§ 3. Кардинальные числа : порядок

Понятие мощности множества и сравнения мощностей было введено по аналогии с важной характеристикой конечных множеств – числом их элементов. Оказывается, эту аналогию можно сделать ещё более зримой.

Зафиксируем универсальное множество U и будем работать в дальнейшем с его элементами и подмножествами. При этом будем считать, что U достаточно “большое”, т.е. U содержит пустое множество и замкнуто относительно всех теоретико-множественных операций объединения, пересечения, разности, дополнения, взятия булеанов, декартова произведения и степеней:

  U,  A, B  U A  B  U, A  B  U, A \ B  U,  U,

B(A)  U, AB  U, A^B  U.

В частности, множество U бесконечно (?!).

Отношение A ~ B равномощности множеств A  U, B  U является тогда отношением эквивалентности на множестве B(U). Поэтому множество B(U) разбивается на классы эквивалентности вида = {X  B(U) | X ~ A}, состоящие из всех подмножеств X  U , равномощных выделенному представителю класса – множеству A. Так, например, для пустого множества A =  класс состоит из одного пустого множества (единственного нульэлементного подмножества множестваU), а для одноэлементного множества A = {a₁} класс состоит из всех одноэлементных подмножеств. Вообще, если множествоA = {a₁ , … , a_n} состоит из n элементов, то класс состоит из всехn-элементных подмножеств.

Естественно обозначать классы символами0, 1, … , n, … и отождествить эти символы с натуральными числами (с нулём). Аналогично, произвольный класс , состоящий из всех множеств, мощности|A|, будем называть кардинальным числом (или кардиналом), которое, очевидно, являет собой квинтэссенцию понятия мощности |A|  |U|. Таким образом, фактор-множество = {  B(B(U)) | A  U} можно рассматривать как множество кардинальных чисел. Чем шире универсальное множество U, тем больше кардинальных чисел будет построено. Если множество U бесконечно (а имеет смысл рассматривать, конечно, только большие универсальные множества), то получается следующее множество кардинальных чисел

Card(U) = {0, 1, … , n, … , ₀ , … , ₁ , … },

где через  = ₀ обозначен кардинал, соответствующий счётной мощности. Кардинал, соответствующий мощности континуума обозначается, как правило, через с = ₁ . Поскольку R ~ 2^N, то его часто обозначают через .

Сразу возникает естественный вопрос: есть ли между ₀ и промежуточные кардиналы ? Другими словами, может ли существовать множество M со свойствами N  M  R и |N| < |M| < |R| ? Это знаменитая континуум-гипотеза. Как доказал в 1960 г. П. Коэн, континуум-гипотеза является примером утверждения, не зависящего от аксиом формальной теории множеств: существуют модели этой теории, в которых есть промежуточные кардиналы, и существуют модели теории множеств, в которых нет таких кардиналов. Можно сформулировать обобщённую континуум-гипотезу: если _i – некоторый кардинал, отвечающий мощности |А| некоторого множества А, а _i+1 = – кардинал, отвечающий мощности |B(A)|, то существуют ли промежуточные кардиналы между _i и _i+1 ? По всей видимости, для произвольного кардинала _i ответ тоже независим от аксиоматики теории множеств.