Тетрадь 3 (функция одной переменной)

Точку x0 називають усувною

точкою

lim

f x

lim f x

... ,

x x0 0

x x0 0

розриву (рис. 3.5), якщо

...

,

f x0 ...

або в цій

точці функція

…

Властивості неперервних у точці функцій

Якщо функції f

x і g x неперервні в

... ... ,

...

... ,

...

т. x0 , то в цій точці неперервні функції

...

(остання за умови… )

Якщо функція u x неперервна в

т. x0 , а функція y f u неперервна в

складена функція

…

т. u0 f x0 , то

неперервна в т.

x0

Будь-яка

елементарна

функція

неперервна в кожній точці, в якій вона

…

Властивості функцій, неперервних на відрізку

Якщо функція неперервна в кожній

точці інтервалу a,b , то вона

називається

…

Функція неперервна на відрізку a;b ,

вона неперервна на … і, крім

якщо

того, неперервна справа в точці

… і зліва в точці …

Теорема (перша теорема Больцано-

Запропонуйте

геометричне

Коші).

Якщо

функція

y f x

тлумачення теореми

неперервна на відрізку a;b і на його

кінцях набуває значень різних знаків, то

всередині відрізка a;b

знайдеться хоча

б одна

точка

x c , у

якій

значення

функції дорівнює нулю

Теорема (друга теорема Больцано-

Запропонуйте

геометричне

Коші).

Нехай

функція

y f x

тлумачення теореми

неперервна на відрізку a;b і набуває на

його кінцях різних значень:

f a f b .

Тоді для довільного числа

f a ; f b

знайдеться таке

число

c a;b , що

f c

Теорема

(Вейєрштрасса).

Якщо

Запропонуйте

геометричне

функція

y f x

неперервна на відрізку

тлумачення теореми

a;b , то серед її значень на цьому

відрізку є найбільше і найменше

А

Б

В

Г

Д

х1, х4

х3

х5

х3 , х5

х2

Якщо хоча б одна з границь lim

f (x) або

lim f (x) дорівнює нескінченності,

x x0

0

x x0

0

А

Б

В

Г

Д

х1, х4

х3

х1

х3 , х5

х2

Якщо

lim f (x) a,

lim f (x) b, де a, b скінченні числа та a b, то точку

x x0

0

x x0

0

А

Б

В

Г

Д

х1, х4

х3

х1

х1, х2 , х4

х2

Якщо

lim f (x) a,

lim f (x) b, де a, b скінченні числа та a b, то точку

x x0

0

x x0

0

неперервна на відрізку [a;b],

то …»

А

Б

В

Г

Д

вона обме-

вона досягає

на

відрізку

вона

досягає

немає

жена на цьо-

на цьому від-

[a;b] знай-

на цьому від-

хибного

му відрізку

різку

най-

деться точка

різку

най-

продовження.

більшого

с,

така, що

меншого зна-

значення

f (c) 0

чення

Скористайтесь властивостями неперервних на відрізку функцій, що виражені

теоремами Больцано-Коші та Вейєрштрасса.

3.5. Яка з наведених функцій неперервна в точці х 1?

А

Б

В

Г

Д

f (x) ln(x 1)

f (x)

х

1

1

f (x)

1

f (x)

1

f (x) 21 х2

cos(x 1)

2

х

ln х

х

А

Б

В

Г

Д

f (x) ctg(x 2)

1

f (x)

1

1

f (x) ln х

f (x) 32 х

f (x) (х 2)3

х

2

3х 2

А

Б

В

Г

Д

a 2

a 2

a 3

a 1

інша

відповідь

Функція

f (x) непрервна в точці х0 , якщо lim f (x) f (x0 ).

x x0

1

3.8. Дослідіть функцію y(x) 2x 1

на неперервність у точках x 2

і x 1.

1

2

Побудуйте схематичний графік.

Хід розв’язання.

1

Крок 1. Перевірте умови неперервності функції y(x) 2x 1 у точці

x1 2 і зробіть висновок.

...

y(2) 2...

1

lim f (x) lim 2 x 1

x 2 0

x 2 0

1

lim

f (x) lim 2 x 1

x 2 0

x 2 0

дорівнює значенню функції в точці x0

, тобто lim f (x) lim

f (x)

lim f (x) f (x0 ) .

x x0

x x0 0

x x0 0

1

Крок 3.

Знайдіть

односторонні

границі

при

x 1 0 і

зробіть

висновок.

1

lim 2 x 1

...

...

x 2 0

1

lim 2 x 1

...

...

x 2 0

Якщо хоча б однієї з границь lim

f (x) , lim

f (x)

немає чи вона дорівнює

x x0 0

x x0 0

нескінченності, то точку x0 називають точкою розриву другого роду.

1

Крок 4.

Розгляньте поведінку графіка функції y(x) 2x 1

в околі

Крок 5.

Для схематичної

побудови графіка функції, розгляньте

1

поведінку функції y(x) 2x 1

при

x .

1

lim 2 x 1

...

...

x

1

...

lim 2 x 1

...

x

Скористайтесь тим, що a 0

1 , a 0 1

1

Крок 6.

Виконайте схематичне креслення графіка функції y(x) 2x 1

1

результатами щодо «поведінки» функції y(x) 2x 1 при x 1 0

та при x .

Відповідь:

у точці x1 2 функція неперервна; x2

1 – точка розриву

другого роду.

x,

x 0,

3.9. Дослідіть

функцію

y(x)

0 x 2,

на неперервність.

x3 ,

x 2.

x 1,

Крок

1.

Перевірте

умови

неперервності

функції

x,

x 0,

x 2, у точці x 0 і зробіть висновок.

y(x) x3 , 0

x 2.

x 1,

y(0)

lim y(x) lim x

x 0 0

x 0 0

lim y(x) lim x3

x 0 0

x 0 0

x,

x 0,

Функція

3

,

0 x 2, неперервна на інтервалах ; 0

та 0; 2 , так

y(x) x

x 1,

x 2.

як задається елементарними функціями

y x та y x3 , неперервними в інтервалах

вона визначена в цій точці й деякому її околі;

2) є границя

lim f (x) ,

що дорівнює

x x0

значенню функції в точці x0

, тобто lim f (x) lim

f (x)

lim

f (x) f (x0 ) .

x x0

x x0 0

x x0 0

Крок

2.

Перевірте

умови

неперервності

функції

x,

x 0,

x 2, у точці x 2 і зробіть висновок.

y(x) x3 , 0

x 2.

x 1,

y(2)

lim y(x) lim x3

x 2 0

x 2 0

lim y(x) lim x 1

x 2 0

x 2 0

x,

x 0,

Функція

3

,

0 x 2, неперервна на інтервалах 0; 2 та 2; , так

y(x) x

x 1,

x 2.

як задається елементарними функціями

y x3 та

y x 1, неперервними в інтервалах

Якщо є

лівостороння і правостороння границі функції в точці x0 , тобто

lim f (x) a та

lim f (x) b , де a і b

– скінчені числа, причому a b , то точку x0

x x0 0

x x0 0

називають точкою розриву першого роду.

x,

x 0,

результатами, щодо поведінки функції

3

,

0 x 2,

при x 0 0, x 2 0

y(x) x

x 1,

x 2.

та при x .

Відповідь: у точці x 0 функція неперервна;

x 2 – точка розриву

першого роду.

x 2

Дослідіть функцію

y x2 3x 2

на неперервність для подальшого

Крок 1. Перевірте умови неперервності функції

y

x 2

у точці

x2 3x 2

x1 0 і зробіть висновок.

Функцію f x називають неперервною в точці x0 , якщо виконуються умови: 1)

вона визначена в цій точці й деякому її околі; 2) є границя lim f x , що дорівнює

x x0

значенню функції в точці x0 , тобто lim f x lim

f x lim f x f x0 .

x x0

x x0 0

x x0 0

Крок 2. Перевірте точку x2 1

(знайдіть значення функції при x2 1).

y (1)

1 2

...

12

3 1 2

У разі, якщо знаменник функції при x0 обертається на нуль, то x0

– точка

розриву.

Крок 3. Розгляньте поведінку графіка функції

y

x 2

в околі

x2 3x 2

Для

схематичної

побудови графіка функції в околі

точки x2

1

знайдіть

декілька значень функції для x з інтервалів 0; 1 і 1; 2

Крок

4. Знайдіть односторонні

границі при

x 1 0

і

зробіть

висновок.

lim

x

2

lim

x

2

...

x2 3 x

x 1 0

2

x 1 0 x 1 x 2

lim

x

2

...

...

x2 3 x

2

x 1 0

Якщо хоча б однієї з границь lim f x ,

lim f x немає чи дорівнює

x x0 0

x x0 0