Тетрадь 3 (функция одной переменной)

Крок

1.

Прологарифмуйте

обидві

частини

рівності

x 1 3

y

5

x 4

. Скористайтесь властивостями логарифма та проведіть

x 7

2

необхідні перетворення.

x 1 3 5

ln y ln

x 4

x 7

2

ln y ln ...

ln ... ln ...

ln y ... ln

... ... ln ... ... ln ...

Метод

логарифмічного

диференціювання

доцільно

використовувати, якщо

uk1

x uk2

x ... ukm x

функція задана у вигляді y

1

2

m

.

vl1

x vl2

x ... vlm

x

1

2

m

Згадайте

властивості

логарифма:

ln a b ln a ln b, ln

a

ln a ln b,

b

ln ab b ln a .

Крок

2.

Знайдіть

похідні від

обох

частин

отриманої функції

ln y 3ln x 1

1

ln x 4 2ln x 7 ,

враховуючи,

що y – це функція,

5

яка залежить від x .

1

ln y 3ln x 1

ln x 4

2ln x

7

5

... ...

...

...

y ... cos x sin x ...

...

диференційована,

то її

похідну

називають

другою

Якщо функція f x

похідною (або похідною другого порядку) функції

f (x) .

Для знаходження похідної застосуйте

правило диференціювання

добутку

U V U V , де U ex , V cos x sin x .

U V

sin x ,

Застосуйте формули

таблиці похідних:

ex ex ,

cos x

cos x .

sin x

...

...

...

y 2

...

Для знаходження похідної застосуйте правило

диференціювання добутка

U V U V , де U ex , V sin x .

U V

ex та

Застосуйте формули таблиці похідних: ex

sin x cos x .

Крок 4. Знайдіть значення функції y

у точці

x 0 .

0

Замість змінної x у функцію y 2ex sin x cos x

підставте x 0 .

Значення функцій ex , sin x, cos x у точці x 0 : e0 1,

sin 0 0, cos 0 1.

Відповідь:

2 .

y (0)

4.21. Знайдіть y

та y

неявно заданої функції y 2x y3 sin x 0

Хід розв’язання.

Крок

1.

Продиференціюйте

обидві

частини

рівняння

y 2x y3

sin x 0 за змінною x , враховуючи при цьому, що

y – це

функція, яка залежить від x .

y 2x y3 sin x 0

y

2

y

3

(x)

sin x 0

U V U V , де

U y3 , V sin x . Скористайтесь формулами:

добутку U V

y

...

;

...

Доданки, що містять y , згрупуйте в лівій частині рівняння, доданки без

y

перенесіть у праву частину та виразіть y .

Крок 3. Перша похідна

y неявної функції також є функція неявно

задана. Знайдемо її похідну,

враховуючи,

що y

та y

–

функції,

які

залежать від x .

2 y

3

cos x

...

... ...

...

y

;

2

2

1 3y sin x

sin x

1 3y2

U V U V

U

, де U 2 y3 cos x, V 1 3y2 sin x .

V

2

V

Застосуйте правило диференціювання суми

U V

та

добутка

U V

V .

Скористайтесь

формулами:

0;

C U ,

де

U V U V U

С

C U

n

n 1

nU

U ,

sin x

cos x ,

cos x

sin x .

C const ;

U

Крок

5.

Підставте

знайдені

похідні

функцій

2 y3 cos x

та

1 3y2 sin x

у вираз для

y ,

враховуючи,

що

y

2 y3 cos x

.

Зробіть

1

3y2 sin x

Підставте замість y знайдену функцію

y

2 y3 cos x

.

1

3y2 sin x

2 y3

cos x

Відповідь:

y

1 3y2

sin x ,

cos x 6 y y sin x 3y2 cos x

y

y3 sin x 3y2

y cos x 1 3y2 sin x 2 y3

2

1 3y2 sin x

x arcsin t,

4.22. Знайдіть y

та y для параметрично заданої функції

.

y ln 1

t2

Хід розв’язання.

Крок 1. Знайдіть окремо похідні

dx

xt

та

dy

yt .

dt

dt

dx

xt arcsin t t

dt

dy

2

yt ln 1 t

t

dt

Функціональна залежність між аргументом

x

і функцією

y(x) , що задана

рівняннями x x(t), y y(t) ,

де

t параметр, який

належить

проміжку

, ,

називається параметричним завданням функції y(x) .

Похідну функції, заданої

параметрично

рівняннями

x x(t),

y y(t) ,

dy

dy

dx

yt

обчислюють за формулою:

.

або yx

dx

dt

dt

xt

1

1

2

Застосуйте формули arccos t

та lnU

U U

, де U 1 t .

1 t2

yt

...

yx

xt

...

Підставте знайдені на попередньому кроці похідні

dx

xt

2t

та

dt

1 t2

dy

1

yt

dt

yt

1

t2

у формулу обчислення похідної параметрично заданої функції

yx

xt

2t

yx t

1 t2

U V U V

U

, де U 2t, V 1 t2 .

V

2

V

1

Застосуйте формулу

U

U , де U 1

t2 .

2

U

...

yx

yxx

t

xt

...

dx

2t

Підставте

знайдені

на

попередньому кроці похідні

xt

та

dt

1 t2

2

yx t

у формулу обчислення другої похідної параметрично заданої

t2

1 t2

1

функції y

yx

t .

xt

xx

2t

2

1.

Відповідь: yx

1 t2

, yxx t2

Учимося моделювати

професійну діяльність інженера

4.23.

Залежність

кількості

теплоти

Q , що отримана тілом у процесі

нагрівання, від температури визначається за законом

Q 0,24 2 e0,4 .

Знайдіть теплоємність с тіла при 4 C .

Хід розв'язання.

Крок 1. З’ясуйте залежність теплоємності від швидкості зміни

теплоти тіла.

Це означає, що с =

…

Крок 2.

Знайдіть похідну функції Q 0,24 2 e0,4 .

Q/

...

...

...

...

або

с( )

...

...

...

...

Для обчислення похідної застосовуйте правило диференціювання суми

складених функцій u

n

u v

u v

та

формули

диференціювання

nu

n 1

u й

с (4)= 0,48 ...

0,4 e0,4 ... …

Замість змінної

у функцію c 0,48 0,4 e0,4 підставте

4 C .

Відповідь: c 4 3,9012 .

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Обчисліть

похідну

Обчисліть

похідну

Обчисліть

похідну

функції

функції

функції

4

3

х

3

х

n

2

х

2

4

f (x) 5х

7х

4.

f (х) 0,8х4

f (x)

mx

x.

.

3

3

x

2

m

x

х

3

3

х

Скористайтесь пра-

3

Запишіть

усі

2

х

2

вилом

обчислення

Доданки

та

доданки у вигляді

х3

3

похідної суми

степеня з основою

запишіть у вигляді

х.

Врахуйте, що

степеня з основою

m, n const.

х.

101

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Обчисліть

похідну

Обчисліть

похідну

Обчисліть

похідну

функції

функції

функції

f (x) (2х3

3)(х 5).

f (x) хarctgx.

f (x) (2х3 3)(х 5)sin x.

Скористайтесь

Скористайтесь

Скористайтесь прави-

правилом обчис-

правилом обчис-

лом

обчислення

лення

похідної

лення

похідної

похідної добутка.

добутка.

добутка.

4.26.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Обчисліть

похідну

Обчисліть

похідну

Обчисліть

похідну

функції

функції

функції

f (x)

2х 5

.

f (x)

ln x

f (x)

arcsin x

.

7 х

1 x2

1 x2

Скористайтесь пра-

Скористайтесь

пра-

Скористайтесь пра-

вилом

обчислення

вилом

обчислення

вилом

обчислення

похідної частки.

похідної частки.

похідної частки.

4.27.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Обчисліть

похідну

Обчисліть

похідну

Обчисліть

похідну

функції

функції

функції

f (x) ln(sin x).

f (x) arcctg5 (3x 1)

1

f (x) cos2

x

.

1

x