Тетрадь 3 (функция одной переменной)

2.19. Знайдіть lim

1 2x 3

.

x 4

2x 8

Хід розв’язання.

Крок 1. З’ясуйте,

що буде з чисельником і знаменником дробу при

x 4 і визначте

вид

невизначеності. Для цього підставте граничне

lim

1 2 4 3

...

x 4

2 4 8

При x 4 чисельник і знаменник дробу є нескінченно малими функціями.

0

Відношення двох нескінченно малих позначається невизначеністю виду

.

0

Крок 2. Позбавтесь ірраціональності під знаком границі, для цього

1 2x 3

помножте чисельник і знаменник дробу

на вираз

1 2x 3,

2x 8

3

3

1 2x

1 2x

1 2x 3

0

lim

lim

2x 8

3

...

2x 8

x 4

0

x 4

1

2x

lim

1 2x 3

lim

1

...

2x 8

1 2x 3

x 4

x 4

43

Отже, lim

1 2x 3

1

.

2x 8

x 4

6

Відповідь:

1

.

6

3

x 6 2

2.20. Знайдіть lim

.

x 2

x 2

lim

3 2 6 2

...

2 2

x 2

При

x 2 чисельник і знаменник дробу є нескінченно малими функціями.

0

Відношення двох нескінченно малих величин позначається невизначеністю виду

.

0

Крок 2. Позбавтесь ірраціональності під знаком границі, для цього

помножте

чисельник

і

знаменник дробу

3 x 6 2

на

вираз

x 2

3

4 ,

2 3

x 6 2

x 6

який доповнює чисельник до

суми

кубів.

Проведіть перетворення.

3

2 3

2 3

4

x 6 2

x 6

x 6

3

x 6 2

0

lim

lim

x 2

x 2 3 x 6 2 2 3

4

x 2

0

x 2

x 6

lim

1

x 6 2 2 3

x 2 3

x 6

4

Для

обчислення

границі підставте граничне значення аргументу x 2 у

функцію, для якої обчислюється границя.

Отже,

lim

3 x 6 2

1

.

x 2

12

x 2

Відповідь:

1

.

12

2.21. Знайдіть lim

9

2x 5

.

x 8

3 x 2

x 8 і

визначте вид невизначеності. Для цього підставте граничне

значення аргументу x 8 у функцію, для якої обчислюється границя.

lim

9

2 8 5

x 8

3 8 2

При x 8 чисельник і знаменник дробу є нескінченно малими функціями.

0

Відношення двох нескінченно малих величин позначається невизначеністю виду

.

0

9 2x 5

знаменник

дробу

на вираз

9 2x 5 , спряжений

3

x

2

3

2 3

4 , який доповнює знаменник до

чисельнику, та на вираз

x2

x

різниці кубів. Проведіть відповідні перетворення.

5

5 3

2 3

4

x2

9 2x

9 2x

x

9 2x 5

0

lim

lim

2

3

2 3

4

5

x 8

3 x

0

x 8

x2

2 3

x

x

9 2x

(a b)(a b) a2 b2 . У нашому випадку a 9 2x , b 5 .

(a b)(a2

ab b2 ) a3

b3 . У нашому випадку a 3 x , b 2 .

У результаті проведених перетворень у чисельнику і знаменнику дробу було

виділено

критичний

множник (x 8) , скорочення якого позбавляє

функцію

невизначеності при x 8 .

Крок 3. Обчисліть отриману границю.

3

2 3

4

x2

2

x

lim

5

x 8

9

2x

Для

обчислення

границі підставте граничне значення аргументу

x 8 у

функцію, для якої обчислюється границя.

Отже,

lim

9 2x 5

12

.

3 x 2

x 8

5

2.22. Знайдіть lim

x sin 3x

.

x 0 1 cos 2x

Хід розв’язання.

Крок 1.

Підставте граничне значення аргументу x 0 у функцію,

для якої обчислюється lim

x sin 3x

. З’ясуйте вид невизначеності.

x 0

1 cos 2x

lim

0 sin 0

...

1 cos0

x 0

Згадайте значення функції y cos x для x 0 : cos 0 1.

При x 0

чисельник і знаменник дробу є нескінченно малими функціями.

0

Відношення двох нескінченно малих величин позначається невизначеністю виду

.

0

x sin 3x

Крок 2. Обчисліть границю функції

, провівши попередні

1 cos 2x

перетворення.

x sin 3x

0

x sin 3x

sin 3x

lim

lim

lim

2sin

2

x

sin

2

x

x 0 1 cos 2x

0

x 0

x 0

2

x

lim

3x sin 3x

lim

1

lim

1

...

3x

sin x

... sin x

x 0

x 0

2

x 0

x

...

Для

спрощення

виразу

знаменника

1 cos 2x скористайтесь

тригонометричною тотожністю 1 cos 2sin2

. Після цього застосуйте властивості

границі функції (якщо кожна з функцій f x

2

x має скінченну границю в точці a ,

та g

тоді в цій точці виконуються рівність:

lim f x g x lim f x lim g x .

x a

x a

x a

x 1

3x 1

функції

.

x 3

x 1

3x 1

lim

x x 3

При

x чисельник і знаменник дробу

x 1

є нескінченно великими.

x 3

можна розкрити усно,

Для дробово-раціональних функцій невизначеність

якщо провести порівняння показників степенів

n чисельника та знаменника дробу, а

P (x)

lim

a xk a xk 1

... a

x a

саме:

якщо

розглядається

lim

k

0

1

k 1

k

,

то

... b

x b

x Q (x)

n b xm b xm 1

m

0

1

m 1

m

lim

Pk (x)

a0

,

якщо k m .

x Q (x)

b

m

0

Крок 2. Розкрийте невизначеність вигляду 1

.

x 1

3x 1

lim

4 3x 1

ex

x 3

lim

...

...

x x 3

A

...

Розкриття невизначеності вигляду

1

відбувається через зведення до

x x0

обчислення

границі

lim

u

x

1 v

x

за

формулою

lim u x

v x

1 u x 1

1

u x 1 v x

lim u x

1 v x

u x 1 v x A

lim

eA

lim

u x 1

ex x0

x x0

x x0

x x0

У нашому випадку u(x)

x 1

,

v(x) 3x 1,

u x 1,

v x , якщо x .

x 3

49

lim

4 3x 1

ex

x 3 після перетворень. Для цього з’ясуйте, що буде з чисельником і

знаменником дробово-раціональної функції

4(3x 1)

при x .

x 3

lim

4(3x 1)

x

x 3

При x чисельник і знаменник дробу

4(3x 1)

є нескінченно

x 3

невизначеністю виду

.