Тетрадь 3 (функция одной переменной)
.pdf
5.18.
|
|
І рівень |
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
||||||||||||||||
Знайдіть |
диференціал |
Знайдіть |
|
диференціал |
Знайдіть |
|
|
|
диференціал |
||||||||||||||||||||||
|
y х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
функції |
|
при |
функції y |
|
2х 1 при |
функції |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
переході |
х |
|
від |
переході |
|
|
|
х |
|
від |
|
|
|
tgx 1 2 |
|
||||||||||||||||
значення |
х 2 |
|
до |
значення |
|
|
х 5 |
|
до |
при |
переході |
|
х |
|
від |
||||||||||||||||
х 2,01. |
|
|
|
х 5,03 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значення |
|
|
|
х |
6 |
|
|
до |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
61 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
360 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Скористайтесь |
|
|
Скористайтесь |
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь |
|||||||||||||||||||
|
формулою |
|
для |
формулою |
|
для |
|
|
формулою |
|
|
|
для |
||||||||||||||||||
|
обчислення |
дифе- |
обчислення |
дифе- |
|
|
обчислення |
|
дифе- |
||||||||||||||||||||||
|
ренціала функції. |
ренціала функції. |
|
|
ренціала |
|
функції. |
||||||||||||||||||||||||
Врахуйте, що dx x. |
Врахуйте, що dx x. |
|
|
Врахуйте, що dx x. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5.19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Обчисліть |
приблизно |
Обчисліть приблизно |
Обчисліть приблизно |
||||||||||||||||||||||||||||
за |
допомогою |
дифе- |
за допомогою дифе- |
за допомогою дифе- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ренціала 1,0053 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
ренціала arctg0,97 . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
ренціала |
0,9843 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Використайте фор- |
Використайте фор- |
|
|
|
Використайте фор- |
|||||||||||||||||||||||||
|
мулу f (x x) |
мулу f (x x) |
|
|
|
мулу f (x x) |
|||||||||||||||||||||||||
|
f (x) f (x) x, |
f (x) f (x) x, |
|
|
|
f (x) f (x) x, |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
поклавши х 1. |
поклавши х 1. |
|
|
|
поклавши х 1. |
|||||||||||||||||||||||||
5.20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Обчисліть границю |
Обчисліть границю |
Обчисліть границю |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
3x3 2x2 x 2 |
lim |
x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
ex |
e x 2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2 3x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 1 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
cos x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Застосуйте пра- |
Застосуйте правило |
|
|
|
lim e |
x |
e |
x |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
вило Лопіталя. |
Лопіталя кілька |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
разів. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
cos x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ex e x 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 |
|
|
|
lim |
ex |
e x 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Застосуйте правило |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лопіталя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
133
5.21.
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Обчисліть границю |
|
|
Обчисліть границю |
Обчисліть границю |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
х3 2х2 |
3 |
. |
|
|
|
|
lim |
|
2х |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
tg3x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
х |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg5x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Застосуйте пра- |
|
Застосуйте правило |
|
|
Застосуйте пра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
вило Лопіталя. |
|
|
|
Лопіталя кілька |
|
|
вило Лопіталя. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разів. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Обчисліть границю |
|
|
Обчисліть границю |
Обчисліть границю |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x 3 |
|
х 3 х |
|
х 6 |
x 1 |
ln x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2xtgx |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Зведіть |
дроби |
|
до |
|
Зведіть дроби до |
|
|
Зведіть дроби до |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
спільного |
|
зна- |
|
спільного зна- |
|
|
спільного зна- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
менника. |
Засто- |
|
менника. Засто- |
|
|
менника. Засто- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
суйте |
|
|
|
правило |
|
суйте правило |
|
|
суйте правило |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Лопіталя. |
|
|
|
|
Лопіталя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лопіталя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5.23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Обчисліть границю |
|
|
Обчисліть границю |
Обчисліть границю |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim x ln x. |
|
|
|
lim 1 x tg |
x |
limsec |
x |
ln |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Зведіть |
вираз |
|
під |
|
Зведіть вираз під |
|
|
|
Зведіть вираз під |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
знаком границі до |
|
знаком границі до |
|
|
знаком границі до |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
дробу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
дробу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дробу. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Обчисліть границю |
|
|
Обчисліть границю |
Обчисліть границю |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim xх . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
tgх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Перетворіть вираз |
|
Перетворіть вираз |
|
|
|
Перетворіть вираз |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
під |
|
знаком |
|
гра- |
|
під знаком гра- |
|
|
під знаком гра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ниці, |
|
|
|
|
використо- |
|
ниці, використо- |
|
|
ниці, використо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
вуючи |
|
|
|
основну |
|
вуючи основну |
|
|
вуючи основну |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
логарифмічну |
|
то- |
|
логарифмічну то- |
логарифмічну тотожність |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тожність ab eln ab |
ebln a . |
тожність ab eln ab |
ebln a . |
ab eln ab |
|
ebln a . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
134 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Учимося застосовувати ППЗ Gran 2D для знаходження наближеного
значення функції
5.25. Нерозривну швидкість v (м/с)руху води в каналі одержують за
формулою v v k 0,2 |
, де v |
0 |
– нерозривна швидкість потоку на глибині 1м, k– |
0 |
|
|
чисельне значення середньої глибини потоку, що задано у м. Знайдіть наближене значення нерозривної швидкості потоку на глибині k = 2,5м, поклавши v0 = 0,6 м/с та замінивши приріст функції її диференціалом.
Хід обчислення.
1.Відкрийте вікно ППЗ Gran2D.
2.Побудуйте графік функції f x 0,6 x0,2 , для якої змінною буде
глибина потоку:
–за допомогою опції Об’єкт-Створення-Графік функції викличте вікно
Функціональна залежність;
–для типу залежності явна введіть з клавіатури функцію, натиснувши кнопку Ok.
3.Отримайте зображення кривої, за якою маємо можливість знайти значення функції для будь-якої глибини потоку: для глибини 2,5м знайдіть курсором на кривій точку, абсциса якої дорівнює 2,5. Абсциса й ордината точок відображує в лівому нижньому куті вікна програми (ордината точки 0,7 ).
Як пов’язано дослідження функції за допомогою похідної
з інженерною практикою
Опір на вигин балки прямокутного поперечного перерізу (рис. 6.1) може бути задано якоюсь функцією.
135
Рис. 6.1. Схематичне зображення балки прямокутного поперечного перерізу
Якими мають бути розміри перерізу балки, вирізаної із круглого стержня заданого діаметру, щоб її опір на вигин був найбільшим (щоб балка мала найбільшу міцність)?
Як можна застосувати похідну для дослідження функції, що відображає опір на вигин балки? У завданнях якого типу похідна спрощує дослідження функції, що завдає процес або явище?
Складаємо опорний конспект
|
|
|
Зростання і спадання функції |
|
|
||||
Функцію |
f x |
називають |
зростаючою |
|
|
|
|
||
(спадною) на інтервалі a;b , якщо для |
|
|
|
|
|||||
довільних двох точок x1 та x2 |
зі вказаного |
|
|
|
|
||||
інтервалу таких, |
що x1 x2 , |
виконується |
f x1 ... |
f x2 |
f |
x1 ... f x2 |
|||
нерівність |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достатні ознаки зростання та спадання |
|
|
|
|
|||||
функції: |
нехай |
функція |
f x |
|
|
|
|
||
диференційована на інтервалі a;b . Тоді |
|
f x … |
на a;b ; |
||||||
1) якщо f x 0 |
для всіх x a;b , то |
|
функція |
||||||
2) якщо |
|
|
для всіх x |
a;b , то |
|
функція |
f x … |
на a;b ; |
|
f x 0 |
|
||||||||
3) якщо |
|
|
для всіх x |
a;b , то |
|
функція |
f x |
… |
на a;b |
f x 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
136 |
|
|
|
|
|
Необхідна умова зростання (спадання) |
|
|
|
|
||||||||||
функції: якщо диференційована на |
|
|
|
|
||||||||||
інтервалі a;b функція зростає (спадає), то |
|
|
|
для всіх |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x ... 0 , f |
x ... 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a;b |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Локальний екстремум функції |
|
|
|
||||||
Точку |
x0 |
називають точкою локального |
|
|
|
|
||||||||
максимуму (мінімуму) функції f x , якщо |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
є такий |
окіл |
0 |
x x0 |
|
точки x0 , |
що |
|
|
|
|
||||
належить області визначення функції, і |
f x ... f x0 |
|
f x |
... f x0 |
||||||||||
для всіх x із цього |
околу |
виконується |
|
|||||||||||
нерівність |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Точки |
|
локального |
|
максимуму |
й |
|
|
|
|
|||||
локального мінімуму називають точками |
|
|
|
|
||||||||||
локального |
екстремуму, |
а |
значення |
локальним |
|
… |
і |
|||||||
функції |
в |
цих |
точках |
називають |
локальним |
… |
чи |
|||||||
відповідно |
|
|
|
|
|
|
|
|
локальним |
… |
||||
Необхідна умова локального екстремуму: |
|
|
|
|
||||||||||
якщо |
функція |
f x |
має |
в |
точці |
x0 |
|
|
|
|
||||
локальний екстремум і диференційована в |
f x0 … |
|
||||||||||||
цій точці, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Геометричний |
зміст |
необхідної умови |
|
|
|
|
||||||||
локального |
екстремуму: якщо |
функція |
|
|
|
|
||||||||
f x має в точці x0 локальний екстремум і |
|
|
|
|
||||||||||
диференційована в цій точці (рис. 6.2), то |
|
|
|
|
||||||||||
у цій точці є дотична до графіка |
|
функції y f x , і ця дотична |
|
… |
осі Ox |
Рис. 6.2. Геометричний зміст необхідної |
|
умови локального екстремуму |
|
|
|
Внутрішні точки області визначення |
|
функції, в яких похідна від неї дорівнює |
|
нулю, називають |
… |
|
|
137 |
|
Внутрішні |
|
точки |
|
області |
визначення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
функції, в яких похідна від неї дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
нулю або її немає, називають |
|
|
… |
чи точками можливого |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
екстремуму |
|
|
|
||
Якщо функція має в точці локальний |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
екстремум, то ця точка обов’язково є |
Чи буде правильним обернене? |
|||||||||||||||||||
критичною |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Перша |
|
достатня |
|
умова |
локального |
Переформулюємо |
|
словесно |
||||||||||||
екстремуму: |
нехай |
x0 |
– |
критична точка |
достатню умову: |
|
|
|
|
|||||||||||
функції |
f x , яка в цій точці неперервна, і |
якщо |
|
при |
переході |
зліва |
||||||||||||||
нехай є окіл x0 ; x0 |
|
точки x0 , у якому |
направо |
через критичну |
точку |
|||||||||||||||
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
функція має похідну |
|
, крім, можливо, |
знак |
похідної |
|
f x |
||||||||||||||
f |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
точки x0 . Тоді: |
|
|
|
x0 ; x0 |
|
змінюється з … на |
… , то x0 |
– |
||||||||||||
1) якщо |
|
в |
інтервалі |
похідна |
точка |
локального |
максимуму; |
|||||||||||||
|
|
, |
а |
в |
інтервалі |
x0 ; x0 |
|
похідна |
якщо знак похідної змінюється з |
|||||||||||
f x 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
, |
то точка x0 |
є точкою локального |
… на |
|
… , то |
– |
точка |
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||
f x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
максимуму функції f |
x ; |
|
|
|
локального |
мінімуму; |
якщо |
|||||||||||||
2) якщо |
|
в |
інтервалі |
x0 ; x0 |
похідна |
похідна |
|
… |
|
|
, то в |
|||||||||
|
точці |
x0 |
екстремуму немає |
|
||||||||||||||||
|
|
, |
а |
в |
інтервалі |
x0 ; x0 |
|
похідна |
|
|||||||||||
f x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
, |
то точка x0 |
є точкою локального |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
мінімуму функції |
f x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) якщо |
в |
обох |
|
інтервалах |
x0 |
; x0 і |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x0 ; x0 |
|
|
похідна |
|
|
|
має |
той самий |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
знак, |
то |
точка |
x0 |
не є екстремальною |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
точкою функції f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Друга |
|
достатня |
|
умова |
локального |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
екстремуму: нехай x0 – стаціонарна точка |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
функції |
f x , тобто |
f x0 0 , і |
в околі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
точки |
x0 |
є друга неперервна похідна, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
причому |
f x0 0 . |
|
|
|
|
|
|
Якщо |
|
f x0 |
.... 0 , |
то |
x |
– |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Продовжить формулювання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||
|
|
точка |
|
|
… |
|
|
; якщо |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x0 |
.... 0 , |
то |
x |
– |
точка |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
138 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Третя |
достатня |
|
умова |
локального |
|
|
|
||||
екстремуму: нехай в околі стаціонарної |
|
|
|
||||||||
точки |
x0 |
є неперервна похідна |
f n x , |
|
|
|
|||||
причому f |
n x 0 , а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x0 f x0 ... f n 1 x0 0. Тоді |
функція |
f x має в точці x |
|||||||||
1) якщо n – парне і |
f |
n |
x0 |
|
0 , то |
||||||
|
|
|
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
; |
|
2) якщо n – парне і |
f |
n x |
0 , то |
функція |
f x має в точці x |
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
; |
|
3) якщо n – непарне, то |
|
|
функція f |
x в точці x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
||||||||
Правило дослідження функції на |
|
|
|
||||||||
|
|
екстремум |
|
|
|
|
|
||||
Щоб знайти локальний екстремум функції |
|
|
|
||||||||
f x , треба: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) знайти |
критичні |
|
точки |
функції |
f x . |
|
|
|
|||
Для цього слід |
|
|
|
|
|
розв’язати рівняння |
… |
||||
|
|
|
|
|
й серед його розв’язків вибрати |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
тільки ті корені, які є |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
внутрішніми |
точками |
області |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
існування |
функції; |
знайти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки, у яких похідної немає; |
|||
2) якщо критичні точки є, то треба |
|
|
|
||||||||
дослідити знак похідної в кожному з |
|
|
|
||||||||
інтервалів, на які розбивається область |
|
|
|
||||||||
існування цими критичними точками. Для |
|
|
|
||||||||
цього достатньо |
|
|
|
|
|
визначити |
|
… |
в |
||
|
|
|
|
|
якій-небудь |
одній |
точці |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
інтервалу, бо похідна може |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
змінити знак лише переходячи |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
через критичну точку; |
|
||
3) за |
зміною знака |
|
|
|
при переході |
|
|
|
|||
|
f x |
|
|
|
|||||||
через критичні точки зліва направо визначити точки максимумів та мінімумів і обчислити значення функції f x в цих точках
139
Найбільше та найменше значення функції
Щоб знайти найбільше й найменше |
|
|
|
|
||
значення функції y f x |
на |
проміжку |
|
|
|
|
a;b , потрібно: |
|
|
1) знайти … |
|
; |
|
|
|
|
2) обчислити |
… |
в |
|
|
|
|
тих критичних точках, що |
|||
|
|
|
належать інтервалу a;b , а також |
|||
|
|
|
… |
; |
|
|
|
|
|
3) серед |
одержаних |
значень |
|
|
|
|
вибрати найбільше й найменше |
|||
Опуклість і вгнутість кривих і точки перегину |
|
|||||
Криву y f x , для якої |
на |
інтервалі |
|
|
|
|
a;b усі її точки, крім точки дотику, |
|
|
|
|||
лежать нижче довільної її дотичної на |
|
… |
|
|||
цьому інтервалі (рис. 6.3), називають |
|
|
||||
|
|
|
||||
Рис. 6.3. Графік опуклої кривої
Криву y f x , для якої на інтерваліa;b усі її точки, крім точки дотику, лежать вище довільної її дотичної на
цьому інтервалі (рис. 6.4), називають
…
Рис. 6.4. Графік вгнутої кривої
140
Точку кривої, яка відділяє опуклу |
|
частину кривої від вгнутої (рис. 6.5) |
|
називають |
… |
|
Рис. 6.5. Графік кривої |
|
|
|
|
|||||
|
|
з точкою перегину |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дослідження |
графіка |
функції |
на |
|
|
|
||||
опуклість та вгнутість за допомогою |
|
|
|
|||||||
другої похідної: нехай функція y f x є |
|
|
|
|||||||
двічі диференційованою на a;b . Тоді |
графік функції y f x … на |
|||||||||
1) якщо |
f x 0 , |
x a;b , то |
|
|||||||
|
|
|
|
x a;b , то |
|
a;b ; |
|
|
||
2) якщо |
f |
|
, |
|
крива y f x … |
на a;b |
||||
x 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Достатня |
умова |
наявності |
точки |
|
|
|
||||
перегину:нехай x0 |
– критична точка |
|
|
|
||||||
другого |
|
роду |
|
функції |
f x . |
Якщо |
|
|
|
|
переходячи через точку x0 |
друга похідна |
… |
кривої f |
x |
||||||
f x змінює знак, то точка x0 ; f x0 є |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Асимптоти кривої |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Є два типи асимптот: |
|
|
|
… |
, … |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
141
Пряма x c – вертикальна асимптота
(рис. 6.6), якщо
lim f x …
x c 0
або
lim f x …
x c 0
Рис. 6.6. Пряма x c – вертикальна асимптота
Пряма y kx b є похилою асимптотою
(рис. 6.7), якщо
є скінченні границі |
||
lim |
f x |
… , де k 0 та |
|
||
x |
x |
|
|
lim f x kx … |
|
|
x |
|
Рис. 6.7. Пряма y kx b похила асимптота
Горизонтальною |
асимптотою графіка |
функції y f x |
при x називають |
пряму y b (рис. 6.8), коли
lim f x ... |
lim |
f x ... |
|
x |
x |
|
|
горизонтальна асимптота є окремим випадком похилої асимптоти k 0
Рис. 6.8.Горизонтальна асимптота y b
142