Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Тетрадь 3 (функция одной переменной)

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
9.33 Mб
Скачать

Якщо функція u g x

має похідну

в

точці x ,

а

функція

y f u – у

відповідній точці u g x , то складена функція

y f g x

диференційована в точці x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

причому f (g(x))

f (g(x)) g (x). f (g(x)) f (g(x)) g (x).

 

 

 

4.5. Рівняння дотичної до графіка функції y f (x) у точці х 1 має

вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

y f ( 1) f ( 1)(x 1)

 

 

 

 

 

Б

 

y f ( 1) f ( 1)(x 1)

 

 

 

 

 

В

 

y f ( 1) f ( 1)(x 1)

 

 

 

 

 

Г

 

y f ( 1) f ( 1)(x 1)

 

 

 

 

 

Д

 

y f ( 1) f ( 1)(x 1)

 

 

 

Рівняння

дотичної

до

графіка функції

y f (x) в

точці х0

має вигляд

y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) .

4.6. Рівняння нормалі до графіка функції y f (x) у точці х 1 має вигляд:

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

y f (1)

1

 

(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

y f (1)

1

 

(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

y f (1)

1

 

(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

y f (1)

 

1

 

(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

 

y f (1)

 

1

 

(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рівняння нормалі до

графіка

функції

y f (x) в

точці

х0 має

вигляд

y f (x0 )

 

 

1

(x x0 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.7.

Похідна функції, що задана параметрично

x cost,

обчислюється за

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y sin t,

 

 

 

 

 

 

 

формулою:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

Б

 

 

В

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin t

 

 

 

 

 

 

 

cost

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

sin t

 

 

y

 

 

 

cost

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yx sin t

 

 

x

 

cost

 

yx

 

 

x

 

sin t

 

 

yx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cost

 

 

 

 

 

 

 

 

sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

83

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x(t),

Похідна функції, що задана параметрично обчислюється за

y y(t),

формулою y yt .

x xt

4.8. Похідна другого порядку y для функції, що задана параметрично

xx

x x(t),

обчислюється за формулою:

y y(t),

 

 

 

А

 

 

 

Б

 

 

 

В

 

 

 

Г

 

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

y

 

 

y

 

 

yt t

y

 

 

y

 

 

yх

t

 

t

t

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

yxx

 

 

xx

 

t

yxx

xt

 

xx

 

х t

yxx

xt

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скористайтесь формулою для обчислення похідної другого порядку для функції, що задана параметрично.

4.9. У якому з випадків необхідно застосувати логарифмічне диференціювання для обчислення похідної ?

 

А

 

 

 

Б

 

 

В

Г

Д

y xcos x

 

 

 

 

 

 

 

y 2х3

y2 х 2х у

y ln(cos x)

 

 

y е 2 х 1

 

Логарифмічне диференціювання доцільно використовувати, якщо функція

задана у вигляді:

 

 

 

 

 

а) y

uk1 x uk2

x ... ukm x

 

 

 

 

 

1

2

 

m

;

 

 

 

 

vl1

x vl2

x ... vln x

 

 

 

 

 

 

1

2

 

n

 

 

 

 

 

б) показниково-степеневої, що записується у вигляді y u(x)v( x) .

4.10. У якому з випадків недоцільно застосовувати логарифмічне диференціювання для обчислення похідної?

А

Б

В

Г

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y ln xх3

y

 

(х 2)3

 

2х 3

y tg x х3

y (cos x)5

y

x3 (1 x)16

 

 

(х 5)7 (5 3х)9

2x 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Логарифмічне диференціювання доцільно використовувати, якщо функція

задана у вигляді:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y

uk1 x uk2

x ... ukm x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

m

;

 

 

 

 

 

 

 

vl1 x vl2

x

... vln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

б) показниково-степеневої, що записується у вигляді y u(x)v( x) .

84

4.11. Задано закон руху матеріальної точки s(t) 2t3 3t2 4t 2 . Знайдіть закон, за яким змінюється швидкість точки.

А

v(t) 3t2 3t 2

Б

v(t) 2t2 3t 4

В

v(t) 6t2 6t 4

Г

v(t) 6t3 6t2 4

Д

v(t) 6t2 6t 4 2

Скористайтесь механічним змістом похідної: v(t) s (t) .

4.12. Задано закон руху матеріальної точки s(t) 2t3 3t2

4t 2 . Знайдіть

прискорення в момент часу t 1.

 

 

 

 

А

Б

 

В

Г

 

Д

a(t) 3

a(t) 6

 

a(t) 0

а(t) 4

 

a(t) 12t 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скористайтесь механічним змістом другої похідної: a(t) v (t) s (t) .

Учимося розв’язувати типові задачі

4.13. Знайдіть похідну функції y 9x5 x34 1x 2 3x2 .

Хід розв’язання.

 

 

 

 

 

 

 

 

y 9x5

 

3

 

1

2 3

 

 

Крок 1.

Запишіть кожен доданок функції

 

x2

у

 

x4

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вигляді степеневої функції x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 9x5

 

 

2 3 x2

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x n ,

 

 

 

 

 

 

 

 

Скористайтесь властивостями степенів:

n xm x n .

 

 

 

 

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Крок 2. Знайдіть похідну кожного з доданків функції. Скористайтесь правилом диференціювання суми та формулами таблиці похідних.

85

 

2

 

 

y 9x5 3x 4 x 1 2 x 3

 

 

y 9 ... ... ... ...

... ...

 

...

 

Для знаходження похідної

застосуйте

правило

диференціювання суми

 

U V та скористайтесь

формулами:

 

C U , де

C const ;

U V

C U

xn nxn 1 .

Крок 3. Зробіть відповідні перетворення в отриманому виразі.

 

4

 

5

 

2

 

2

 

1

 

y 9 5x

3 ( 4) x

( 1) x

2

 

 

x

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

x n ,

 

 

 

 

 

Скористайтесь властивостями степенів:

n xm x n .

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

12

 

1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Відповідь: y

45x

 

x5

x2

3 3 x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.14. Знайдіть похідну функції

y

sin x cos x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 sin x

 

 

 

 

 

 

 

Хід розв’язання.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Крок 1. Знайдіть

похідну функції

y

sin x cos x

 

. Скористайтесь

1 sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

правилом диференціювання частки та формулами таблиці похідних.

sin x cos x

y 1 sin x

 

 

 

 

(1 sin x)

 

 

... ...

 

 

 

... ...

... ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 sin x)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

sin x)2

(1

86

Для знаходження похідної застосуйте правило диференціювання частки

 

 

 

 

U V U V

 

U

 

, де U sin x cos x, V 1 sin x .

 

 

 

 

 

 

V

2

V

 

 

 

Врахуйте те, що функціїU sin x cos x та V 1 sin x складаються з суми двох функції, тому під час їх диференціювання скористайтесь формулою похідної суми

U V U V .

Застосуйте формули таблиці похідних: sin x cos x ; cos x sin x .

Крок 2. Зробіть перетворення в чисельнику отриманого виразу.

y

cos x sin x 1 sin x sin x cos x cos x

 

...

 

1 sin x 2

 

 

Для перетворення виразу в чисельнику розкрийте дужки та зведіть подібні доданки.

Відповідь:

y

cos x sin x 1

.

 

 

 

1 sin x 2

4.15. Знайдіть похідну функції y e2 x sin 3x .

Хід розв’язання.

Крок 1. Знайдіть похідну функції y e2 x sin 3x . Скористайтесь правилом диференціювання добутку функцій.

y

e

2 x

 

 

 

sin3x ... sin3x ... ...

 

Для знаходження похідної застосуйте правило диференціювання добутку

 

U V U V , де U e2 x , V sin 3x .

 

U V

 

Крок 2. Знайдіть похідні складених функцій e2 x та sin 3x .

87

y e2 x sin3x e2 x sin3x

Застосуйте формули диференціювання складених функцій: eU eU U та

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinU cosU U .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2e

2 x

sin 3x 3e

2 x

cos3x .

 

 

 

 

 

 

Відповідь: y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.16. Знайдіть похідну функції

y

arccos

3x 1

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

2x 3x2 2

 

 

 

Хід розв’язання.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Крок 1. Знайдіть похідну функції

y

arccos 3x 1

. Скористайтесь

 

2x 3x2 2

правилом диференціювання частки функцій.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos 3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

y

 

 

 

...

 

...

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ...

 

 

2x 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для знаходження похідної застосуйте правило диференціювання частки

 

 

 

 

U V U V

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

, де U arccos

 

3x 1

, V

 

2x 3x2

 

.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

V

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

88

Крок 2. Знайдіть окремо похідні складених функцій arccos 3x 1 та

2x 3x2 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos 3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

...

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 3x

2

 

 

 

 

 

 

 

...

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Застосуйте формули диференціювання складених функцій: для першої функції

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccosU

 

 

 

 

 

 

 

U , де

U 3x 1та для другої функції U n

n U n 1 U , де

1 U 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U 2x 3x2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Під час знаходження похідних функцій 3x 1 та 2x 3x2

застосуйте правило

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C U ,

диференціювання суми U V

U V та скористайтесь формулами: C U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nxn 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де C const ;

 

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Крок

 

 

3. Підставте

 

знайдені

 

похідні

 

функцій

arccos 3x 1 та

2x 3x2 2

у загальну формулу похідної функції y

arccos 3x 1

.

Зробіть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 3x2 2

 

перетворення в чисельнику отриманого дробу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x 9x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

2x 3x2

 

2 arccos

 

3x

1 2

 

2x 3x2

 

2 6x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 3x2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У чисельнику

отриманого дробу винесіть за дужки загальний множник

2x 3x2 та скоротіть

на нього дріб.

89

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

У

 

 

першому

доданку

чисельника

зверніть

увагу на

те, що

 

a ,

де

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a 6x 9x2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 12x arccos 3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Відповідь: y

6x 9x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 3x2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.17. Знайдіть похідну функції y arcsin4 3x cos 4x6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хід розв’язання.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Крок

 

1.

 

 

Знайдіть

похідну

функції y arcsin4 3x cos 4x6 .

Скористайтесь правилом диференціювання добутку функцій.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y arcsin

4

3x

cos 4x

6

 

...

 

 

 

...

 

...

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

Для знаходження похідної застосуйте правило диференціювання частки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x, V cos 4x6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U V U V U V , де U arcsin4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Крок 2.

Знайдіть окремо похідні складених функцій

arcsin4 3x

та

cos 4x6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

...

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 arcsin 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 4x

6

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Застосуйте формули диференціювання складених функцій: для першої функції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U , де

 

U n

nU n 1 U

, де

U arcsin 3x та для другої функції

 

cosU

sinU

 

U 4x6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для знаходження похідної функції arcsin 3x , скористайтесь формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsinU

 

 

 

 

 

 

 

 

U .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

U 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

Для

знаходження

похідної

функції

4x6 , скористайтесь

формулами:

 

 

 

 

 

 

C U C U ,

де C const ; xn nxn 1 .

 

 

Крок 3.

Підставте

знайдені

похідні

функцій arcsin4 3x

та cos 4x6 у

загальну формулу похідної функції y arcsin4 3x cos 4x6 .

Виконайте

перетворення для спрощення виразу.

 

 

...

 

y

Винесіть за дужки спільний множник 12arcsin3 3x .

 

Відповідь: y 12arcsin3

 

cos 4x6

 

3x

 

 

 

2x5 arcsin 3x sin 4x6

.

 

 

 

 

 

 

 

1 9x2

 

4.18. Знайдіть похідну функції y arctg x sin2 x методом логарифмічного диференціювання.

Хід розв’язання.

Крок 1. Прологарифмуйте обидві частини рівності y arctg x sin2 x .

Скористайтесь властивостями логарифма та проведіть необхідні перетворення.

ln y ln arctg x sin2 x ln y ... ln arctg x

Метод логарифмічного диференціювання застосовується, якщо функція задана у вигляді показниково-степеневої, що записується y U (x)V ( x) , де U (x),V (x) – диференційовані функції від x , U (x) 0 .

Згадайте властивості логарифма: ln ab b ln a .

91

Крок 2. Знайдіть похідні від

обох частин отриманої функції

ln y sin2 x ln arctg x , враховуючи, що

y - це функція, яка залежить від

х.

 

ln y sin2 x ln arctg x

...

 

...

...

 

...

...

 

 

 

Для правої

 

частини

застосуйте правило диференціювання

добутку

 

 

 

U V U V , де U sin2

x, V ln(arctgx) .

 

 

U V

 

 

 

 

 

Скористайтесь

формулами

диференціювання

складених

функцій:

 

 

 

 

1

 

n

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

lnU

 

 

 

 

 

nU

 

U .

 

 

 

 

 

 

U

U , U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Крок 3. З отриманого виразу виразіть шукану похідну y ,

враховуючи, що y arctg x sin2 x .

1

 

 

2sin x cos x ln arctg x sin

2

 

1

 

1

y y

 

x arctg x 1 x2

 

 

y y

 

...

y ...

 

...

Домножте обидві частини рівності на y .

Відповідь: y arctg x sin2 x sin 2x

ln arctg x

sin2 x

1 x2

 

arctg x

 

 

 

.

 

 

 

 

 

x 1 3

 

 

 

 

4.19.

Знайдіть

похідну

функції

y

5

 

x 4

методом

x 7

2

 

 

 

 

 

 

логарифмічного диференціювання.

Хід розв’язання.

92

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.