Тетрадь 3 (функция одной переменной)

невизначеністю виду .



Крок 3. Скористайтесь правилом Лопіталя для обчислення отриманої

Застосуйте правило Лопіталя розкриття невизначеності 0 .

0

Згадайте, що x 1, ex ex .

Скористайтесь тим, що при x маємо, що ex , а відповідно e1x 0 .

Відповідь: 0 .

5.14. Обчисліть границю lim 2arctg x ln x за правилом Лопіталя.

x

Хід розв’язання.

Крок 1. З’ясуйте, як поводить себе кожен множник під знаком границі при x і визначте вид невизначеності.

lim 2arctg x ln x ... ...

x

Скористайтесь тим, що при x arctgx 2 , а ln x .

123

При x перший множник є нескінченно малою, а другий – нескінченно великою функцією. Добуток нескінченно малої та нескінченно великої функції

позначається невизначеністю виду 0 .

Крок 2. Запишіть добуток 2arctg x ln x у вигляді частки функцій. З’ясуйте вид невизначеності в отриманій границі.

Крок 3. Скористайтесь правилом Лопіталя для обчислення отриманої

Застосуйте правило Лопіталя розкриття невизначеності 0 .

0

124

ln x 1x .

Крок 4. В отриманій границі 2lim x ln2 x з’ясуйте, як поводять себе

x 1 x2

чисельник і знаменник дробу при x та вкажіть вид невизначеності.

При x чисельник і знаменник дробу є нескінченно великими функціями. Відношення двох нескінченно великих величин позначається невизначеністю виду

.



Крок 5. Скористайтесь правилом Лопіталя для обчислення границі

Застосуйте правило Лопіталя розкриття невизначеності .



125

При x чисельник і знаменник дробу є нескінченно великими функціями. Відношення двох нескінченно великих величин позначається невизначеністю виду

.



Крок 7. Скористайтесь правилом Лопіталя для обчислення границі

Скористайтесь правилом Лопіталя розкриття невизначеності .



У чисельнику застосуйте правило диференціювання суми U V U V та

чисельник і знаменник дробу при x та вкажіть вид невизначеності.

126

При x чисельник і знаменник дробу є нескінченно великими функціями. Відношення двох нескінченно великих величин позначається невизначеністю виду

.



Крок 9. Скористайтесь правилом Лопіталя для обчислення границі

Скористайтесь правилом Лопіталя розкриття невизначеності .



У чисельнику застосуйте правило диференціювання суми U V U V та формулу ln x 1x .

Крок 10. В отриманій границі 2lim 1 невизначеності немає.

x x

Обчисліть її.

2lim 1

x x

Хід розв’язання.

Крок 1. З’ясуйте, як поводить себе функція під знаком границі при x 0 і визначте вид невизначеності.

обидві її частини. Зробіть необхідні перетворення, використовуючи властивості логарифма.

ln tg 4 x ln y

...

Згадайте властивості логарифма: ln ab b ln a .

Скористайтесь формулою ctgx tgx1 .

дробу при x 0 та вкажіть вид невизначеності.

128

скінченні границі.

lim ln y 2

x 0

ln lim y 2

x 0

lim y ... ...

x 0

Скористайтесь правилом граничного переходу: при знаходженні границі

Відповідь: e 2 .

130

Учимося моделювати професійну діяльність інженера

5.16. Період коливання маятника T 2 l980 с, де l = 20 см – довжина

маятника. Як потрібно змінити довжину маятника, щоб період коливання зменшився на 0,1 с ?

Хід розв'язання.

Крок 1. Уведіть позначення зміни (приросту) періоду коливання маятника та зміни (приросту) довжини маятника.

Диференціал незалежної змінної збігається з її приростом.

Крок2. Знайдіть зміну (приріст) періоду коливання маятника dT .

131

Скористайтесь перетвореннями дробово-раціональних виразів.

значення l = 20, dT 0,1 (знак мінус означає зменшення).

Відповідь: dl 4,46см .

Отже, щоб період коливання маятника зменшився на 0,1, його довжину необхідно зменшити на 4,46 см.

Учимося самостійно розв’язувати завдання

5.17.

132