Тетрадь 3 (функция одной переменной)

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

механізмів визначається функцією

. Дослідіть її граничну

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

lim sin 2x x sin 3x

	y x
0	x ...
		lim
		lim
0	x	y ...
		y ...

	y ...

sin 2	...	...	lim	sin 2 y
sin 3	...			sin 3y
			y 0

Скористайтесь тим, що коли x , а y x , то		y 0 .
Скористайтесь	формулами	приведення:

sin(2 ) sin , sin( ) sin .

Крок 3.		Знайдіть		lim	sin 2 y	. Для	цього скористуйтесь
				y 0	sin 3y
еквівалентними нескінченно				малими функціями			для функцій sin 2 y та
sin3y .
	sin 2 y		...
lim	sin 3y
lim
y 0			...

Скористайтесь тим, що коли x 0 , то sin x x, sin kx kx .

Отже, lim	sin 2x	2	.

x sin 3x		3

Відповідь: 23 .

Учимося моделювати професійну діяльність інженера

2.26. У теорії механізмів і машин для кінематичного дослідження механізмів застосовують графічний метод визначення траєкторії руху точок і побудови планів механізмів, що задані у вигляді функцій та метод кінематичних діаграм із дослідженням граничної поведінки функції, що визначає переміщення ланок механізмів. Траєкторія переміщення ланок

поведінку при x 0 .

Хід розв'язання.

Крок

1. Підставте

x 0

функцію,

для якої

обчислюється

cos x

lim

x 0

cos 2x

cos 0

lim

...

x 0 cos 2 0

Згадайте значення функції y

cos x для x 0 : cos 0 1.

Крок 2. Розкрийте невизначеність вигляду1 .

cos x cos 2 x

cos x

lim

cos

lim

...

x 0 cos 2x

...

Розкриття невизначеності вигляду 1 відбувається зведенням до

обчислення границі lim u x 1 v x за формулою

x x0

u x

lim 1 u x 1

u x 1 v

lim

u x 1 v x

lim

u x 1 v x A e

lim

u x 1

x x0

v x

x x0

У нашому випадку u x

cos x

v x

, u x 1, v x , якщо x 0 .

cos 2x

Крок 3.

cos x cos 2 x lim

ex 0 x 2 cos 2 x

Обчисліть границю функції, що отримана в показнику

після перетворень.

	3sin	3x
lim		2
x 0	32x

3sin

sin

lim

cos x cos 2x

...

lim

x 0

cos 2x

x 0

x 0 cos 2x

Для

спрощення

виразу

чисельника

cos x cos 2x

скористайтесь

cos 2x

тригонометричною

тотожністю

cos cos 2 sin sin , після цього

застосуйте

властивості границі

функції

(якщо

кожна

з функцій f x та

g x має

скінченну

границю

точці

a ,

тоді в

цій

точці

виконуються

рівність:

lim f x g x lim f x lim g x .

x a

Крок 4. Обчисліть границі перших двох функцій, що отримані після

3sin

sin

перетворень

lim

та lim

x 0

3sin

lim

...

x 0

x 0 3x

Скористайтесь першою важливою границею lim

sin x

x 0

Крок

Обчисліть

добуток

границь

функцій

3sin

sin

lim

x 0

x 0 cos 2x .


	3sin		3x		sin		x
	3sin				sin				1
lim	2			lim		2		lim	1	...
	2					2
						x
x 0		3x		x 0	2	x		x 0 cos 2x
	2				2	2

		Підставте у функцію x 0 : lim	1	1.

			cos 2x
		x 0	cos 2x
		Крок 6. Підставте отримане значення А у вираз			lim u x v x eA , де
					x x1
A	3	.
A	2	.
	2

Відповідь: e3 .

Учимося самостійно розв’язувати завдання

2.27.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

lim

х2 4

lim

х2

6х 9

lim

х3 64

2х 4

х2 3х

х2 8х 16

х 2

х 3

х 4

Скоротіть дріб.

2.28.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

lim

6х2 5х 1

lim

х3

2х 1

lim

х3 3х 2

7х2

10х 3

х4

2х 1

3х3 7х2 5х

х 1

Розкладіть	квад-	Чисельник	та	Чисельник	та
ратні тричлени на		знаменник	дробу	знаменник	дробу
множники	та	ділиться на х 1.		ділиться на х 1.
скоротіть дріб.		Скоротіть	дріб,	Скоротіть	дріб,
		використовуючи	ділення	використовуючи	ділення
		многочленів у стовпчик.		многочленів у стовпчик.

2.29.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

1 х

х 2

1 х х

7 2х х

lim

2х

х 0

х 4

х 2

Домножте

чи-

Домножте

чи-

Домножте чисельник та

сельник та зна-

сельник

та

зна-

знаменник

дробу

на

менник

дробу

менник дробу на

вираз,

спряжений

до

на вираз, спря-

вирази, спряжені

чисельника.

жений до чисельника.

до

чисельника

та

знаменника.

2.30.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

10 х 6

1 х

lim

1 х

lim

х 0

х 2 3

3х

4х

х 8

Помножте чисель-

Помножте

чисель-

Помножте

чисель-

ник та знаменник

ник та

знаменник

ник

та

знаменник

дробу

на

непов-

дробу на неповний

ний квадрат суми

квадрат суми вира-

квадрат різниці 2 і

виразів 3 1 х та

3 1 х .

3 х та

на

суму

виразів

зів 3 3х 6 та 3

х2

4х .

10 х

1 х .

2.31.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

lim

5х х 1

3х

5х

3х

lim

3х 3

5х

15х 1

х2 3

х3 х

Поділить

чисель-

Приведіть

до

Приведіть

до

ник та знаменник

спільного

дробу на х3 .

знаменника

дробово-

раціональний вираз.

раціональний вираз та ско-

ристайтесь властивістю

lim f (х)

lim f (х) .

x x0

2.32.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

lim

х 2 х

lim

х2

lim

х2 х 1

х2

х 1

Помножте

та

Розгляньте

два

Помножте

та

поділіть

вираз

випадки:

вираз

на спряжений до

на

спряжений

та

х . Для

х2 х 1

х2 х 1.

того, щоб позба-

до

х 2 х .

Врахуйте,

що

при

витись

невизначеності,

х 0

x2 x, а при х 0

помножте

та

поділіть

вираз

на

спряжений

до

х2 1 х .

2.33.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

lim

tg3x

lim

1 cos6x

lim

x sin 7x sin 3x

х 0

sin 5x

х 0

xsin 3x

х 0

cos8x 1

Помножте чисель-

чисельнику

Розкладіть

чисель-

ник та знаменник

дробу

застосуйте

ник та знаменник

дробу

на

та

формулу

дробу на

множни-

виділіть

першу

1 cos 2sin2 .

ки

та

виділіть

важливу

границю

та

першу важливу границю.

наслідок із неї.

Виділіть

першу

важливу

границю.

2.34.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

3х 1

х 2

х2 х 11

lim x 2 ln 2x 1 ln 2x 3

lim

х 3х 2

х х 11х 1

Додайте та від-

Додайте

та

Перетворіть вираз під зна-

німіть

оди-

відніміть

оди-

ком границі,

застосовуючи

ницю в основі

властивості логарифмів.

степеню,

виді-

степеню,

виді-

літь

другу

важливу

літь другу

важливу

границю.

2.35.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

3ctg2 x

lim

1 3x

lim(1 5tg

х)

lim(3 2х)1 х

x 0

х 0

х 1

Виділіть

другу

Зробіть

заміну

Зробіть

заміну

важливу границю

змінної

tgx t.

змінної

х 1 t.

Врахуйте,

що при

Якщо

х 0,

то

lim(1 )

е.

х 0, t 0.

t 0 .

2.36.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

lim

sin x

lim

arcsin2 x

2 х

lim

х 0

arctg4x

х 0

sin x

tgx

Замініть нескінчен-

Приведіть

до

но малі функції на

спільного

еквівалентні

при

еквівалентні при

знаменника

та

х 0.

замініть нескінчен-

но малі

функції

на

еквівалентні при х 0.

2.37.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

1 cos x

1 cos

1 arctg3x

lim

х 0

х 0 xsin 2x

х 0

1 arcsin 2x

1 arctg2x

Замініть

Розкладіть

чи-

Замініть

нескінченно

малі

нескінченно

сельник

дробу

функції на еквівалентні при

малі

функції

на

множники

х 0.

на

еквіва-

та

замініть

лентні при х 0.

нескінченно малі функ-

ції на еквівалентні при

х 0.

2.38.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

arcsin(x 1)

ln x 1

lim

sin

x e

х 1

х е

lim

cos x

Зробіть

заміну

Зробіть

заміну

Зробіть

заміну

змінної

х 1 у.

змінної

х е у.

Якщо

х 1,

то

Якщо

х е,

то

змінної

х 6

у.

у 0.

Якщо

то

6 ,

у 0.

Учимося застосовувати CAS Maple для обчислення границі функції та побудови траєкторії руху

2.39. Розрахунок робочого колеса турбіни приводить до рівняння ln y k 2 x2 ln y0 , де y – товщина колеса на відстані х від осі обертання,

y0	– значення y при х=0. Знайдіть lim	y		, отримайте траєкторію руху точок
		y
	x 0		0

турбіни для побудови плану механізму.

Хід обчислення та побудови.

1.Відкрийте вікно CAS Maple.

2.За допомогою опції Insert-Execution Grope-Before Cursor отримайте в

полі програми мітку .

3.Активізуйте зліва вкладки Expression й Common Symbols та з отриманих шаблонів уведіть в окремих дужках границю функції, її складові та символ

«;».

4.Отримайте значення границі функції.

5.Натисніть клавішу Enter та отримайте курсор для продовження аналізу функції.

6.Уведіть в окремих дужках складові функції зі зазначенням інтервалів,

на яких Вас цікавить зображення траєкторії руху в .

7.За допомогою опції Insert-Plot-2D отримайте декартову систему координат, в яку скопіюйте вираз функції.

8.Отримайте траєкторію руху точок турбіни для побудови плану механізму.

Як пов’язане поняття неперервності функції з інженерною практикою

Моделі з неперервними змінними широко використовуються для опису й аналізу явищ нелінійної динаміки в механіці, фізиці рідин і газів.

Чи є неперервними функціональні залежності для реальних величин? Ситуація з поняттям неперервності стає невизначеною, якщо йдеться про

інтенсивні величини, наприклад про швидкість зміни розподілу якої-
небудь квантової частинки,	lim	x	lim	x t t x t	v t . Якщо
		t		t
	t 0		t 0

дійсно дотримуватись того, щоб t 0 , то функція v t буде прямувати до або (у момент розподілу чи загибелі частинки), а в проміжках між розподілами частинок буде прямувати до нуля. Отже, поняття v t , як неперервної функції, що залежить від t , можна ввести тільки наближено, якщо розглядати кінцеві, досить великі проміжки часу t й відповідні їм

кінцеві прирощення x .

Відповіді на вищевказане та інші питання можна усвідомити, якщо мати уявлення про поняття неперервності функції.

З’ясуємо, які є можливості для дослідження функції на неперервність.

Складаємо опорний конспект

	Неперервність функції в точці
Функцію	f x називають неперервною
в т. x0 , якщо вона визначена в цій точці
й деякому її околі та lim y 0 ,		тобто	нескінченно малому приросту
	x 0		нескінченно малому приросту
(рис. 3.1)			аргументу відповідає		…
Рис. 3.1. Геометричне тлумачення
	неперервної функції
Функцію	f x називають неперервною
в точці x0 , якщо виконуються умови:
1)	вона визначена в цій точці і
деякому її околі;
2)	існує границя lim f x ;		lim f x lim		f x
	x x0
3)	ця границя дорівнює значенню
3)	ця границя дорівнює значенню		x x0	x ...
функції в точці x0 , тобто			x x0	x ...
функції в точці x0 , тобто			lim	f x ...
			lim	f x ...
			x ...

		61

Розриви функцій та їх класифікація

Яка з умов неперервності для функції
y g x (рис. 3.2) в точці x0 не
виконується ?		…
Рис. 3.2. Графік функцій y g x

Точку x0 називають точкою розриву	1) у точці x0	функція може бути
першого роду для функції (рис. 3.3),		…		;
якщо	2) є лівостороння і правостороння
	2) є лівостороння і правостороння
	границі функції в точці x0 , тобто
	lim f x	... , lim	f x	... ,
	x x0 0	x x0 0
	де a і b – скінченні числа,
	причому a b
Рис. 3.3. Геометричне тлумачення точок
розриву першого роду
Точку x0 називають точкою розриву	хоча б одна з границь		lim	f x ,
другого роду (рис. 3.4), якщо	lim f x		x x0 0
другого роду (рис. 3.4), якщо		…
		…
	x x0 0
Рис. 3.4. Геометричне тлумачення точок
розриву другого роду

62

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2019251.39 Кб47ТЕСТИ Макроек. показ.doc
#
05.03.2016474.62 Кб557Тесты по англ для шк.олимп.doc
#
05.03.201649.15 Кб51Тесты по ЭАУ №1.doc
#
05.03.20165.6 Mб30Тетрадь 1 (определители,матрицы,СЛАУ,векторы).pdf
#
05.03.20167.3 Mб32Тетрадь 2 (аналитическая геометрия).pdf
#
05.03.20169.33 Mб13Тетрадь 3 (функция одной переменной).pdf
#
05.03.20161.33 Mб96Тех.мех.практические.doc
#
16.08.20195.29 Mб124Техническая термодинамика и теплопередача111.doc
#
19.11.20197.09 Mб78Технология возведения и реконструкции.doc
#
05.03.20161.94 Mб110ТИ 227 П.ГЛ-21-2014 ПРОИЗВОДСТВО ГОРЯЧЕКАТАНОЙ ЛИСТОВОЙ СТАЛИ НА НЕПРЕРЫВНОМ ШИРОКОПОЛОСНОМ СТАНЕ 1700.doc
#
14.08.2019263.68 Кб10ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ 2.doc