Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тетрадь 3 (функция одной переменной)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Нехай x 0 , тоді є еквівалентності

x ~ sin x ~ ...

...

~ ...

х ~ ex

1 ~

...

1 cos x ~ ... ,

a x 1 ~ ... ,

1 k k 1 ~ ...

log a 1 x ~ ...

Якщо x ~ 1 x ,

x ~ 1 x

при x x0 ,

lim

...

то

x x0

Нехай

x 0 ,

x 0

при x x0 ,

причому x – нескінченно мала

вищого

порядку, ніж x ,

тобто

x x ~

...

при x x0

lim

0 . Тоді

x x0

Нехай

x 0 ,

x 0 при x x0 ,

причому

–

нескінченно

мала

x x ~

...

при x x0

вищого порядку, ніж x . Тоді

Нехай

x ,

при x x0 ,

причому

–

нескінченно

велика

x x ~

...

при x x0

вищого порядку, ніж x . Тоді

Якщо x ~ 1 x ,

x ~ 1 x

при x x0 ,

x x

...

причому x ~ x , то

lim

x x0

Перевіряємо готовність до практичного заняття

2.1. За графіком функції, що зображений на рис. 2.3. укажіть хибне співвідношення.

А	Б	В	Г	Д
lim f (x) 3	lim f (x) 1	lim f (x)	lim f (x)	lim f x 6
x	x 0	x 2	x	x 3

Скористайтесь означенням границі функції у точці на нескінченності та означенням нескінченно великої функції в точці.

Рис. 2.3. Графік функції	Рис. 2.4. Графік функції
до задачі 2.1.	до задачі 2.2.

2.2. За графіком функції, що зображений на рис. 2.4. укажіть правильне співвідношення.

А	Б	В	Г	Д
lim f (x) 2	lim f (x) 1	lim f (x)	lim f (x)	lim f (x)
x 0 0	x 0 0	x 2 0	x 2 0	x 2 0

Скористайтесь означенням односторонніх границь.

2.3. Які з наведених функцій є нескінченно великими при х х0 (х )?

А	Б	В				Г	Д
f (x) 1000000000,	100		1			f (x) ln х,	f (x) arctgx,
	f (x) х ,	f (x) 1		х	,
х						х 0	х
	х 2	х 0

Скористайтесь означенням нескінченно великої функції в точці.

2.4. За графіком функції, що зображена на рис. 2.5, укажіть усі значення аргументу, за якими функція є нескінченно малою.

А		Б	В		Г	Д
x 3, x 1,		x 3, x 1	x 3	x 3, x 1,		інша відповідь
х	4				х 3

Функція називається нескінченно малою в точці x0					, якщо lim f (x) 0.
					x x0

Рис. 2.5. Графік функції до задачі 2.4.

2.5. Оберіть хибну рівність.

lim(3x2 ex ) lim3x2

limex

x 0

lim 2e x

2lim e x

lim x2

lim

x ln x

limln x

х 2

lim(x 2)

lim

x 3

x 1

lim(x 1)

x 3

lim(ex sin x) limex limsin x

x 0

Скористайтесь теоремами про границі функції.

2.6. Оберіть вірну вірність

lim

3sin x

lim

sin 2x

lim

sin(x 1)

lim

sin 2x

lim

sin 2x

x 0

x 1 sin 3x

x 1

x sin 3x

Скористайтесь першою важливою границею: lim

sin

1 та наслідками з неї.

2.7. Яка з наведених рівностей правильна?

lim

arcsin 3x

lim

tg2x

lim

tg5x

x 0

arctg x

tg3x

tgx

x 0

x 1

Скористайтесь наслідками з першої важливої границі.

2.8. Яка з наведених рівностей правильна?

lim(1 x)x

x 0

lim 1

lim

x 0

Скористайтесь

другою

важливою

границею: lim(1 )

чи

lim

е.

2.9. Оберіть неправильну рівність.

lim

ln(1 x)

x 0

lim

ln 2

x 0

lim

(1 х)k

x 0

lim

loga

(1 x)

loga e

x 0

lim

tgx

x 1

Скористайтесь наслідками з другої важливої границі.

2.10. Оберіть правильну рівність.

lim(1 kx)mx ekm

x 0

lim(1 kx)mx ekm

x 0

lim

x 0

ekm

lim(1 kx) x

x 0

Скористайтесь наслідками з другої важливої границі.

			1 3x
2.11. Обчисліть границю функції: lim 1

x			2x

36

правильної

-6

1,5

-1,5

відповіді

немає

k mx

Скористайтесь наслідком із другої важливої границі lim

2.12. Обчисліть границю функції: lim

2 x

x 0

e 6

ekm .

Скористайтесь наслідком із другої важливої границі lim(1 kx) x

x 0

2.13. Нехай (x), (x) нескінченно малі при

х 2. Якщо lim

(x) 2,

x 2

(x)

тоді…

(x), (x)

(x)

нескінченно

функції

мала вищого

(x) та (x)

другого

одного

порядку

еквівалентні

порядку

малості, ніж

при х 2.

малості щодо

малості при

(x) при

х 2.

Нехай (x), (x) нескінченно малі при х х

і lim (x)

k, тоді:

x х0 (x)

1)якщо k 0, то (x), (x) нескінченно малі одного порядку малості;

2)якщо k 0, то (x) нескінченно мала вищого порядку малості, ніж (x);

3)якщо k , то (x) нескінченно мала нижчого порядку малості, ніж (x);

4)якщо k 1, то (x), (x) еквівалентні нескінченно малі.

Якщо lim	(x)	k	(k 0, k )	то (x) нескінченно мала р-го порядку
	р (x)
x х0
малості відносно (x);

2.14. Нехай (x), (x) нескінченно малі при	х 2. Якщо lim	(x)	0,
	x 2	(x)

тоді…

А		Б	В		Г		Д
	(x)		(x)				(x)
(x), (x)							нескінченно
	нескінченно		нескінченно
функції							другого
	мала вищого		мала вищого	(x) та (x)
одного							порядку
	порядку		порядку	еквівалентні
порядку							малості
	малості, ніж		малості, ніж	при х 2.
малості при							відносно
	(x) при		(x) при
х 2.							(x) при
	х 2.		х 2.
							х 2.

Нехай (x), (x)		нескінченно малі при х х			і lim (x)	k, тоді:
				0	x х0 (x)

1)якщо k 0, то (x), (x) нескінченно малі одного порядку малості;

2)якщо k 0, то (x) нескінченно мала вищого порядку малості, ніж (x);

3)якщо k , то (x) нескінченно мала нижчого порядку малості, ніж (x);

4)якщо k 1, то (x), (x) еквівалентні нескінченно малі.

Якщо lim	(x)	k	(k 0, k )	то (x) нескінченно мала р-го порядку
	р (x)
x х0

малості відносно (х) .

2.15. Оберіть правильну еквівалентність.

tg x 2 ~ x 2

ln x2

~ 1 x2

1 x 5 ~ 5 1 x

cos x2 ~ 1 x2

e x2 ~ x 2

x 0

Скористайтесь

тим,

що

tg ~ ;

cos ~ 1

;

ln (1 ) ~ ;

(1 )m ~ 1 m ; e 1 ~ .

2.16. Оберіть правильне еквівалентність.

ln (1 x ) ~

arctg (x 1) ~

x 1

sin 2x ~ x

2x 1~

1 x2 ~ 1 x

ln 2

x 0

x 1

x 0

Скористайтесь

тим,

що

arctg ~

;

sin ~ ;

ln (1 ) ~ ;

(1 )m ~ 1 m ; a 1 ~ ln a .

Учимося розв’язувати типові задачі

2.17. Знайдіть lim	x2 1	.
	2x2 x 1
x 1

Хід розв’язання.

Крок 1. З’ясуйте, що буде з чисельником і знаменником дробу при x 1 і визначте вид невизначеності. Для цього підставте граничне

значення аргументу			x 1 у функцію, для якої обчислюється lim			x2 1		.
значення аргументу			x 1 у функцію, для якої обчислюється lim					.
				x 1	2x2 x 1
lim	12 1		...
lim	2 12	1 1	...
x 1	2 12	1 1
При		x 1 чисельник і знаменник дробу є нескінченно малими функціями.
						0
Відношення двох нескінченно малих величин позначається невизначеністю виду							.
							.
						0
Крок 2. Розкладіть чисельник і знаменник дробу				x2 1		на прості
Крок 2. Розкладіть чисельник і знаменник дробу						на прості
				2x2 x 1

множники.

x2 1

2x2 x 1 0 D ...

2x2 x 1 2 x ... x ...

Скористайтесь формулою скороченого множення a2 b2 (a b)(a b) .

Скористайтесь правилом разкладання квадратного тричлена на прості


множники:	ax2 bx c a(x x )(x x ) ,			де	x		b D	– корені квадратного
множники:	ax2 bx c a(x x )(x x ) ,			де	x			– корені квадратного
	1	2			1,2		2a
							2a
рівняння	ax2 bx c 0 (нагадаємо,		що		дискримінант			квадратного рівняння
ax2 bx c 0 обчислюється за формулою:				D b2		4ac ).

Крок 3. Підставте отримані розкладання в початкову границю, проведіть скорочення дробу та обчисліть значення границі.

lim

x 1

...

x 1 2x

x 1

1 x

У результаті проведених перетворень у чисельнику і знаменнику дробу було

віділено

критичний

множник

(x 1) , скорочення якого позбавляє функцію

невизначеності при x 1 .

Отже, lim

x2 1

2x2

x 1

x 1 3

Відповідь:

2.18. Знайдіть lim

x3 6x2 12x 8

x3 3x2 4

x 2

Хід розв’язання.

Крок 1.

З’ясуйте,

що буде з

чисельником і знаменником дробу при

x 2 .

Для цього підставте граничне значення аргументу x 2 у функцію,

для якої обчислюється границя lim

x3 6x2 12x 8

x3 3x2 4

x 2

lim

23 6 22 12 2 8

...

x 2

23 3 22 4

При x 2 чисельник і знаменник дробу є нескінченно малими функціями.

Відношення двох нескінченно малих величин позначається невизначеністю виду

Крок 2. Розкладіть чисельник і знаменник дробу

x3 6x2 12x 8

на

3x2 4

прості

множники. Для

цього, враховуючи, що

многочлени

x3 6x2

12x 8 та

x3 3x2

4 без остачі діляться на x 2 , поділить їх

на x 2 .

x3 6x2 12x 8

x 2

x3 3x2 4

x 2

Скористайтесь тим, що якщо x x0 – корінь многочлена Pn (x) , тобто Pn (x0 ) 0 , то многочлен Pn (x) ділиться без остачі на x x0 (наслідок теореми Безу).

Отже, x3 6x2 12x 8 (x 2)(x2 4x 4) ;

x3 3x2 4 (x 2)(x2 x 2) .

Крок 3. Підставте отримані розкладення в початкову границю, проведіть скорочення дробу.

6x2 12x 8

...

lim

...

x 2

У результаті проведених перетворень у чисельнику і знаменнику дробу було виділено критичний множник (x 2) . Однак, скорочення цього множника не позбавляє

функцію від невизначеності при x 2 . Чисельник і знаменник дробу знову є

нескінченно малими функціями.	Відношення двох нескінченно малих величин
	0
позначається невизначеністю виду		.
позначається невизначеністю виду		.
	0

Крок 4. Розкладіть чисельник і знаменник дробу x2 4x 4 на прості x2 x 2

множники.

x2 4x 4		x2 x 2 0
		D ...
		x1
		x2
		x2 x 2 x ... x ...
Скористайтесь правилом		разкладання			квадратного		тричлена	на прості

множники:	ax2 bx c a(x x )(x x ) ,		де	x		b D	– корені квадратного
множники:	ax2 bx c a(x x )(x x ) ,		де	x			– корені квадратного
	1	2		1,2		2a
						2a
рівняння	ax2 bx c 0 (нагадаємо,		що	дискриминант			квадратного	рівняння
ax2 bx c 0 обчислюється за формулою: D b2					4ac ).

Зверніть увагу на те, що x2 4x 4 x 2 2 .

Крок 5. Підставте отримані розкладення в початкову границю, проведіть скорочення дробу та обчисліть значення границі.

	x2 4x 4			0		x 2 2
lim					lim		...
	x	2	x 2			x 1 x 2
x 2				0	x 2

У результаті проведених перетворень у чисельнику і знаменнику дробу було виділено критичний множник (x 2) , скорочення якого позбавляє функцію від

невизначеності при x 2 .

Отже, lim	x3	6x2 12x 8	0.
		x3 3x2 4
x 2

Відповідь: 0 .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2019251.39 Кб50ТЕСТИ Макроек. показ.doc
#
05.03.2016474.62 Кб557Тесты по англ для шк.олимп.doc
#
05.03.201649.15 Кб51Тесты по ЭАУ №1.doc
#
05.03.20165.6 Mб31Тетрадь 1 (определители,матрицы,СЛАУ,векторы).pdf
#
05.03.20167.3 Mб34Тетрадь 2 (аналитическая геометрия).pdf
#
05.03.20169.33 Mб13Тетрадь 3 (функция одной переменной).pdf
#
05.03.20161.33 Mб96Тех.мех.практические.doc
#
16.08.20195.29 Mб128Техническая термодинамика и теплопередача111.doc
#
19.11.20197.09 Mб78Технология возведения и реконструкции.doc
#
05.03.20161.94 Mб111ТИ 227 П.ГЛ-21-2014 ПРОИЗВОДСТВО ГОРЯЧЕКАТАНОЙ ЛИСТОВОЙ СТАЛИ НА НЕПРЕРЫВНОМ ШИРОКОПОЛОСНОМ СТАНЕ 1700.doc
#
14.08.2019263.68 Кб10ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ 2.doc