Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тетрадь 3 (функция одной переменной)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Для дробово-раціональних функцій невизначеність			можна розкрити,
Для дробово-раціональних функцій невизначеність			можна розкрити,

якщо розділити чисельник і знаменник дробу на nk , де k найбільший із показників степенів n , які входять у цей вираз.

Ділення на n допустиме, бо передбачається, що n 0 .

Крок 3. Обчисліть отриману границю, враховуючи властивості границь послідовності.

Скористайтеся тим, що частка від ділення сталої на нескінченно велику

величину є нескінченно малою величиною, тобто, якщо

, C const ,

то x 0

коли n .

Якщо

послідовності xn

і yn збіжні,

то

виконуються

рівності:

lim xn

yn lim xn

lim yn ;

lim xn yn lim xn lim yn ;

lim Cxn

C lim xn , де C const ;

lim x

lim yn 0 .

lim

n y

lim y

Отже,

lim

3n2

2n 1

n 5n2

4n 2 5

II спосіб.

Крок 1. З’ясуйте, як поводять себе чисельник і знаменник дробу при n і визначтесь із видом невизначеності.

lim 3n2 2n 1 n 5n2 4n 2

При n чисельник і знаменник дробу необмежено зростають. Відношення

двох нескінченно великих величин позначається невизначеністю виду .



Крок 2. Загальний член послідовності є дробово-раціональною функцією натурального аргументу n . Визначте найбільший із показників степенів n , які входять у чисельник дробу (позначте його k ), та найбільший з показників степенів n , які входять у знаменник дробу (позначте його m ). Порівняйте k і m , зробіть висновок щодо значення границі послідовності.

k ...; m ...; k ... m			lim	3n2 2n 1
k ...; m ...; k ... m			lim
			n	5n2 4n 2
	Скористайтесь тим,	що для	дробово-раціональних		функцій невизначеність
	можна розкрити усно, якщо		провести порівняння		показників степенів n
	можна розкрити усно, якщо		провести порівняння		показників степенів n

чисельника				та	знаменника			дроба,
	P (n)	lim		a nk a nk 1		... a	n a
lim	k			0	1	k 1		k	, то
						... b	n b
n Q (n)			n b nm b nm 1
	m			0	1	m 1		m

а	саме:				якщо	розглядається
lim	Pk (n)		a0	,	якщо k m .
lim				,	якщо k m .
n Q (n)			b
	m	0

Отже, lim		3n2			2n 1	3	.
Отже, lim	5n2				4n 2	5	.
n	5n2				4n 2	5
Відповідь:			3	.
Відповідь:		5		.
		5

1.11. Знайдіть lim	n 1 n2 2n 3 .
n	2n2 n 1

Хід розв’язання.

Крок 1. Розкрийте дужки в чисельнику та з’ясуйте, як поводять себе чисельник і знаменник дробу при n та визначте вид невизначеності.

	lim	n 1 n2 2n 3
		2n2 n 1
	n

При n чисельник і знаменник дробу необмежено зростають. Відношення

двох нескінченно великих величин позначається невизначеністю виду .



Крок 2. Загальний член послідовності є дробово-раціональною функцією натурального аргументу n . Визначте k найбільший з показників степенів n , які входять у чисельник дробу, та m найбільший з показників степенів n , які входять у знаменник дробу. Порівняйте k і m , зробіть висновок щодо значення границі послідовності.

k ...; m ...; k ... m

lim		n3 n2 n 3
lim		2n2 n 1
n		2n2 n 1
		Скористайтесь	тим, що для	дробово-раціональних	функцій невизначеність
	можна розкрити		усно, якщо	провести порівняння	показників степенів n
	можна розкрити		усно, якщо	провести порівняння	показників степенів n

чисельника				та	знаменника			дроба,
	P (n)	lim		a nk a nk 1		... a	n a
lim	k			0	1	k 1		k	, то
						... b	n b
n Q (n)			n b nm b nm 1
	m			0	1	m 1		m

а саме: якщо розглядається

lim Pk (n) , якщо k m .

n Qm (n)

Відповідь: .

		2n2	1		n 3			3
1.12. Знайдіть lim										.
				3					2
n						3n
	n2 1						1

Хід розв’язання.

Крок 1. З’ясуйте, як поводять себе чисельник і знаменник дробу при n і визначтесь із видом невизначеності. Для цього врахуйте те, що поведінка многочлена Pk (n) при n визначається старшим степенем,

тому, розкриваючи дужки, залиште лише члени зі старшим степенем.

		2n 1			2	n 3			3			4n	2	4n ...	n	3	3n	2	...
												4n		4n ...	n		3n		...		4n	5	...
																						5
lim											lim									lim
lim				3							lim									lim	6
n		2								2	n n6 3n2 ... 9n2 6n ...									n n ...
n	n	2	1				3n	1		2	n n6 3n2 ... 9n2 6n ...									n n ...
	n		1				3n	1

При n чисельник і знаменник дробу необмежено зростають. Відношення

двох нескінченно великих величин позначається невизначеністю виду .



Крок 2. Загальний член послідовності є цілою дробово-раціональною функцією аргументу n . Порівняйте k і m – найбільші з показників степенів чисельника і знаменника, зробіть висновок щодо значення границі послідовності.

n 3

...

k ...; m ...; k ... m

lim

n n

...

3n 1

Скористайтесь тим, що для дробово-раціональних

функцій

невизначеність

можна розкрити

усно,

якщо провести

порівняння

показників степенів n

чисельника				та	знаменника			дроба,
	P (n)	lim		a nk a nk 1		... a	n a
lim	k			0	1	k 1		k	, то
						... b	n b
n Q (n)			n b nm b nm 1
	m			0	1	m 1		m

а саме: якщо розглядається

lim Pk (n) 0, якщо k m .

n Qm (n)

Відповідь: 0.

1.13. Знайдіть		lim		n!	.


		n n 1 ! n!
	Хід розв’язання.
	Крок 1.	Скористайтесь означенням n!, спростіть загальний						член
послідовності		xn		n!		.

			n 1 ! n!
			n 1 ! n!
lim	n!	...


n	n 1 ! n!
	За означенням			n! 1 2 3 ... n . Відповідно			n 1 ! 1 2 3 ... n n 1 .	Тобто

n 1 ! n! n 1

Крок 2. Знайдіть границю отриманого дробу.

lim 1

n n

Скористайтеся тим, що частка від ділення сталої на нескінченно велику величину є нескінченно малою величиною, тобто, якщо xn Сn , C const , то xn 0

коли n .

Відповідь: 0.

1.14. Знайдіть lim

Хід розв’язання.

Крок

При

n чисельник

знаменник дробу

необмежено

зростають.

Для розкриття

невизначеності

чисельник і

, розділіть

знаменник дробу на n та проведіть скорочення дробів.

3 n2 5n

1 5

n n2

lim

..................................................... lim

3 2

У цій послідовності найбільший із показників степенів

n , які входять у цей

вираз, дорівнює

1. Тому чисельник і

знаменник

дробу треба

поділити на n для

позбавлення невизначеності

Крок 2. Скористайтесь основними властивостями збіжних

послідовностей та обчисліть отриману границю.

lim

n n

...

lim3 lim

lim

n n

Скористайтеся тим, що частка від ділення сталої на нескінченно велику

величину є нескінченно малою величиною,

тобто, якщо

, C const ,

то x 0

коли n .

Якщо

послідовності xn

yn збіжні,

то

виконуються

рівності:

lim xn

yn lim xn

lim yn ;

lim Cxn

C lim xn ,

де

C const ;

lim x

, lim yn

0 ; lim xn

lim

lim xn .

lim y

n y

Отже, отримали lim

3 n2 5n

0 .

3n 2

Відповідь: 0.

n7 1

n 1

1.15. Знайдіть lim

n 1

n 7

Хід розв’язання.

Крок 1. При n чисельник і знаменник дробу необмежено

зростають. Тобто маємо невизначеність		. Для розкриття	цієї

невизначеності можна скористатися методом,		описаним у задачі	1.10
	7
(чисельник і знаменник дробу поділити на n 2		та провести скорочення

дробів). Але ці дії призведуть до громіздких виразів (спробуйте провести

їх самостійно). Для позбавлення невизначеності			, визначте
їх самостійно). Для позбавлення невизначеності			, визначте

найбільший із показників степенів чисельника і

знаменника ( k

і m ).

Порівняйте k і m , та

зробіть

висновок

щодо значення

границі

послідовності.

k ...; m ...; k ... m

n 1

lim

n 1

n 7

Скористайтесь тим, що для дробово-раціональних функцій невизначеність

		можна розкрити усно, якщо провести порівняння показників степенів	n
			n

чисельника				та	знаменника			дроба,
	P (n)	lim		a nk a nk 1		... a	n a
lim	k			0	1	k 1		k	, то
						... b	n b
n Q (n)			n b nm b nm 1
	m			0	1	m 1		m

а саме: якщо розглядається

lim Pk (n) , якщо k m .

n Qm (n)



			n7		1		n 1	.
Отже, отримали lim
Отже, отримали lim
			n		1		n 1
	n	7		7
Відповідь: .
1.16. Знайдіть lim	1 2 3 ... n					.
1.16. Знайдіть lim						.
n	2n n2	3
Хід розв’язання.
Крок 1. У	чисельнику					дробу маємо суму n перших членів

арифметичної прогресії. Ураховуючи формулу для обчислення цієї суми,

спростіть загальний член послідовності xn 1 2 3 ... n . 2n n2 3

Sn 1 2 3 ... n

Сума перших n членів арифметичної прогресії an знаходиться за формулою:

Sn a1 an n . 2

Крок 2. В отриманому виразі з’ясуйте, як поводять себе чисельник і знаменник дробу при n і визначте вид невизначеності.

	lim	n2 n
		2 2n n2 3
	n

При n чисельник і знаменник дробу необмежено зростають. Відношення

двох нескінченно великих величин позначається невизначеністю виду .



Крок 3. Загальний член послідовності є цілою дробово-раціональною функцією аргументу n . Зробіть висновок щодо значення границі послідовності, з того що значення найбільших з показників степенів чисельника і знаменника рівні.

lim

n2 n

2n2 6

P (n)

lim

a nk a nk 1

... a

n a

Скористайтеся тим,

що

lim

k 1

, якщо

... b

n b

n Q

(n)

n b nm b nm 1

m 1

k n .

Відповідь:

...

1.17. Знайдіть lim

125

1 ... 1

Хід розв’язання.

Крок 1. У чисельнику і знаменнику дробу маємо суми перших n членів геометричної прогресії. Враховуючи формулу для обчислення цієї суми, спростіть загальний член послідовності.


2	4			8			2n		2		2 2		2 3			2	n
					...									...
5	25			125	...			n	5					...
5	25			125		5			5		5		5			5
1	1		1		1			1		1 2		1 3			1 n
				...									...
2	4			...	2	n							...
2	4	8			2	2				2		2			2

Сума			перших			n
b b b ... b			b b q b q2			... b qn 1
1 2 3		n	1 1		1	1
формулою S		b1	1 qn	.
формулою S	n			.
	n		1 q
			1 q

членів геометричної прогресії зі знаменником q обчислюється за

Крок 2. Для знаходження границі отриманої послідовності, скористайтесь основними теоремами і властивостями збіжних послідовностей.

																						n					2		n
			2			4							8								2	n			2 1		2
															...

			5			25						125									5	n					5
	lim		5			25						125									5			lim
	lim				1														1					lim			1 n
	n				1			1					1	...					1					n			1 n
																									3 1
																				n
					2			4					8					2		n

																											2
																											2

			Скористайтеся тим, що lim qn																						0 , якщо			q		1 .
			Скористайтеся тим, що lim qn																						0 , якщо			q		1 .
																								n
		Якщо									послідовності												xn			і yn		збіжні, то виконуються						рівності:
lim xn yn lim xn lim yn ;																					lim Cxn C lim xn , де C const ; lim											xn	yn lim xn		lim yn ;
n								n						n							n					n					n		n		n
	xn			lim xn												0
lim	xn			n					,		lim			y					.
lim									,		lim			y					.
n y				lim y							n				n
	n			n			n
				n
Відповідь:							2			.
Відповідь:						3				.
						3
															2n		2	1						4n 1
																	2
1.18. Знайдіть lim																										.
1.18. Знайдіть lim																	n									.
											n						n							2
											n

Хід розв’язання.

Крок 1. З’ясуйте поведінку кожного дробу з різниці

при n і визначтесь					із видом невизначеності. Для
знайдіть lim		2n2 1		та lim	4n 1	.
			n		2
	n			n
lim	2n2 1
	n
n
lim	4n 1
	2
n

2n2 1		4n 1
n		2

цього	окремо

Скористайтесь тим, що для дробово-раціональних функцій невизначеність

		можна розкрити усно, якщо провести порівняння показників степенів	n
			n

чисельника				та	знаменника			дроба,
	P (n)	lim		a nk a nk 1		... a	n a
lim	k			0	1	k 1		k	, то
lim						... b	n b		, то
n Q (n)			n b nm b nm 1			... b	n b
	m			0	1	m 1		m
									21

а саме: якщо розглядається

lim Pk (n) , якщо k m .

n Qm (n)

При n кожен із дробів необмежено зростає. Різниця двох нескінченно великих величин позначається невизначеністю виду .

Крок 2. Зведіть дроби до спільного знаменника та спростіть отриманий вираз.

2n2 1	4n 1	...	2 n
n	2		2n

У процесі зведення дробів до спільного знаменника, знайдіть додаткові множники до кожного дробу.

Крок 3. Знайдіть lim	2 n	. Для цього з’ясуйте, як поводять себе
	2n
n

чисельник і знаменник дробу при n і визначте вид невизначеності.

	2 n	...
lim
	2n
n		...

При n чисельник і знаменник дробу необмежено зростають. Відношення

двох нескінченно великих величин позначається невизначеністю виду .



Скористайтесь	тим, що для	дробово-раціональних	функцій невизначеність
можна розкрити	усно, якщо	провести порівняння	показників степенів n
можна розкрити	усно, якщо	провести порівняння	показників степенів n

чисельника

та

знаменника

дроба,

саме:

якщо

розглядається

P (n)

lim

a nk a nk 1

... a

n a

P (n)

якщо k m .

lim

k 1

, то lim

n Q (n)

n b nm b nm 1

... b

n b

n Q (n)

m 1

Відповідь:	1	.
Відповідь:	2	.
	2
1.19. Знайдіть lim					.
1.19. Знайдіть lim			n 2	n	.
		n
Хід розв’язання.

Крок	1. З’ясуйте поведінку послідовності xn					n 2 n при
n .
				22

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2019251.39 Кб47ТЕСТИ Макроек. показ.doc
#
05.03.2016474.62 Кб557Тесты по англ для шк.олимп.doc
#
05.03.201649.15 Кб51Тесты по ЭАУ №1.doc
#
05.03.20165.6 Mб31Тетрадь 1 (определители,матрицы,СЛАУ,векторы).pdf
#
05.03.20167.3 Mб33Тетрадь 2 (аналитическая геометрия).pdf
#
05.03.20169.33 Mб13Тетрадь 3 (функция одной переменной).pdf
#
05.03.20161.33 Mб96Тех.мех.практические.doc
#
16.08.20195.29 Mб125Техническая термодинамика и теплопередача111.doc
#
19.11.20197.09 Mб78Технология возведения и реконструкции.doc
#
05.03.20161.94 Mб110ТИ 227 П.ГЛ-21-2014 ПРОИЗВОДСТВО ГОРЯЧЕКАТАНОЙ ЛИСТОВОЙ СТАЛИ НА НЕПРЕРЫВНОМ ШИРОКОПОЛОСНОМ СТАНЕ 1700.doc
#
14.08.2019263.68 Кб10ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ 2.doc


2	4			8			2n		2		2 2		2 3			2	n
					...									...
5	25			125	...			n	5					...
5	25			125		5			5		5		5			5
1	1		1		1			1		1 2		1 3			1 n
				...									...
2	4			...	2	n							...
2	4	8			2	2				2		2			2


2	4			8			2n		2		2 2		2 3			2	n
					...									...
5	25			125	...			n	5					...
5	25			125		5			5		5		5			5
1	1		1		1			1		1 2		1 3			1 n
				...									...
2	4			...	2	n							...
2	4	8			2	2				2		2			2


2	4			8			2n		2		2 2		2 3			2	n
					...									...
5	25			125	...			n	5					...
5	25			125		5			5		5		5			5
1	1		1		1			1		1 2		1 3			1 n
				...									...
2	4			...	2	n							...
2	4	8			2	2				2		2			2