Тетрадь 3 (функция одной переменной)
.pdf
|
Скористайтесь |
|
Скористайтесь |
|
Скористайтесь правилом |
||||||||||||||||||
|
правилом |
об- |
|
правилом |
обчис- |
|
обчислення |
|
похідної |
||||||||||||||
|
числення |
по- |
|
лення |
|
похідної |
|
добутка |
та |
похідної |
|||||||||||||
|
хідної добутка |
|
добутка та похід- |
|
складеної функції. |
||||||||||||||||||
та похідної складеної |
ної складеної функції. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
функції. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
ІІ рівень |
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|||||||||||||
Обчисліть |
|
|
похідну |
Обчисліть |
|
похідну |
Обчисліть |
|
|
похідну |
|||||||||||||
|
|
etgx |
|
|
|
ln3 |
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
функції |
y |
функції |
y |
|
функції y |
cos2 x 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x 3 |
ctg |
|
x |
sin 2x 1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Скористайтесь пра- |
Скористайтесь пра- |
|
Скористайтесь пра- |
|||||||||||||||||||
|
вилом обчислення |
вилом |
обчислення |
|
вилом обчислення |
||||||||||||||||||
|
похідної частки та |
похідної частки та |
|
похідної частки та |
|||||||||||||||||||
|
похідної |
складе- |
похідної |
складеної |
|
похідної |
складе- |
||||||||||||||||
|
ної функції. |
функції. |
|
|
|
|
|
|
|
ної функції. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
4.30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
ІІ рівень |
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|||||||||||||
Обчисліть |
|
|
похідну |
Обчисліть |
|
похідну |
Обчисліть |
|
|
похідну |
|||||||||||||
функції y xshx |
|
|
|
функції y (sin x)arccos x |
функції |
arcsin 7 x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y cth |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
|
Застосуйте прийом |
Застосуйте прийом |
|
Застосуйте |
прийом |
||||||||||||||||||
|
логарифмічного ди- |
логарифмічного ди- |
|
логарифмічного ди- |
|||||||||||||||||||
|
ференціювання. |
ференціювання. |
|
ференціювання. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.31. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
ІІ рівень |
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|||||||||||||
Обчисліть |
|
|
похідну |
Обчисліть похідну |
Обчисліть |
|
|
похідну |
|||||||||||||||
функції |
y xshx |
функції |
y (sin x)arccos x |
функції |
arcsin 7 x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y cth |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
|
Застосуйте прийом |
Застосуйте прийом |
|
Застосуйте |
прийом |
||||||||||||||||||
|
логарифмічного ди- |
логарифмічного ди- |
|
логарифмічного ди- |
|||||||||||||||||||
|
ференціювання. |
ференціювання. |
|
ференціювання. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103
4.32.
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Обчисліть |
похідну |
|
Обчисліть |
|
похідну |
|
|
Обчисліть |
|
|
похідну |
функції |
|||||||||||||||||||||||||||||||
функції |
|
|
|
|
|
функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(4x 5)7 3 |
(3x 1)5 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x(3x 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 1(x 7)5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
5x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 3x)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Застосуйте |
|
|
|
|
|
|
|
Застосуйте |
|
|
при- |
|
|
|
|
|
Застосуйте |
|
|
|
прийом |
||||||||||||||||||
|
|
|
прийом |
лога- |
|
|
|
|
|
|
|
йом |
|
логариф- |
|
|
|
|
|
логарифмічного |
|
|
|
ди- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
рифмічного ди- |
|
|
|
|
|
|
|
мічного диферен- |
|
|
|
|
|
ференціювання. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
ференціювання. |
|
|
|
|
|
|
|
ціювання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4.33. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|||||||||||||
Обчисліть |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|||
yx |
yxx : |
|
|
|
|
Обчисліть yx |
|
yxx : |
|
|
|
|
Обчисліть yx |
, yxx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x arctgt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln t, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x e , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln t. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
y e 3t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Застосуйте |
фор- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Застосуйте |
|
|
фор- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Застосуйте |
|
|
фор- |
|||||||||||||||
|
|
|
мули |
для |
обчис- |
|
|
|
|
|
|
|
|
мули |
для |
обчис- |
|
|
|
|
|
|
|
|
мули |
для |
обчис- |
||||||||||||||||
|
|
|
лення |
|
похідних |
|
|
|
|
|
|
|
|
лення |
|
|
похідних |
|
|
|
|
|
|
|
|
лення |
|
|
похідних |
||||||||||||||
|
|
|
параметрично |
|
за- |
|
|
|
|
|
|
|
|
параметрично |
за- |
|
|
|
|
|
|
|
|
параметрично |
за- |
||||||||||||||||||
|
|
|
даної функції. |
|
|
|
даної функції. |
|
|
|
|
|
|
|
даної функції.. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4.34. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|||||||||||||
Обчисліть |
|
|
|
, |
|
|
|
Обчисліть |
|
|
|
|
|
|
|
Обчисліть |
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
yx |
yxx , |
|
|
|
yx |
, yxx , |
|
|
|
yx |
yxx , |
||||||||||||||||||||||||||||||
якщо y2 8x . |
|
|
|
|
|
якщо ey 4x 7 y. |
|
|
|
|
якщо sin2 (3x y2 ) 5. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Скористайтесь пра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь |
пра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь пра- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
вилом |
обчислення |
|
|
|
|
|
|
|
|
вилом |
обчислення |
|
|
|
|
|
|
|
|
вилом |
|
обчислення |
||||||||||||||||||
|
|
|
похідної |
функції, |
|
|
|
|
|
|
|
|
похідної |
функції, |
|
|
|
|
|
|
|
|
похідної |
функції, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
що задана неявно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
що задана неявно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
що задана неявно. |
||||||||||||||||||||||
4.35. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|||||||||||||
На лінії знайдіть точку, |
|
Складіть |
|
|
|
|
рівняння |
|
Знайдіть кут, під яким |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
у |
|
якій |
|
|
дотичні |
|
дотичної |
|
до |
графіка |
|
перетинаються |
|
|
криві |
||||||||||||||||||||||||||||
паралельні осі Ох. |
|
|
|
|
функції |
y x3 |
3x2 |
5, |
|
y |
|
х 1 |
|
|
|
|
|
та |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
яка |
|
|
перпендикулярна |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
до |
|
|
|
|
|
|
|
|
прямої |
|
|
|
|
x |
2 |
4x 8 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 6y 1 0. |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
104
Скористайтесь
геометричним змістом похідної: y (x) tg k , де
k – кут нахилу дотичної до осі Ох.
Розбийте задачу на підзадачі:
1) знайдіть абсцису точки, у
якій проведено дотичну, виходячи з умови перпендикулярності прямих:
k1k2 1, |
де k1 y (x) |
кутовий коефіцієнт дотич-
ної, |
а |
k2 |
кутовий |
коефіцієнт заданої прямої; 2) складіть рівняння дотичної.
Кут між прямими – це кут між дотичними, що проведені в
спільній точці кривих.
4.36.
|
|
І рівень |
|
|
|
|
ІІ рівень |
ІІІ рівень |
|
|||||||||
Складіть |
|
рівняння |
Складіть |
|
рівняння |
Довести, що нормалі до |
||||||||||||
нормалі |
до |
кривої |
нормалі |
до |
кривої |
кривої y x2 x 1, |
що |
|||||||||||
|
x2 |
3x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
у |
точці |
y |
|
х 2 у |
точці її |
проведені |
в |
|
точках |
||||||||
|
x2 |
|
|
перетину |
з |
прямою |
|
|
5 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x 3. |
|
|
|
|
|
y x. |
|
|
х 0, х 1, х |
|
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перетинаються в одній |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точці. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Використовуйте |
|
|
Розбийте задачу на |
Складіть |
відповід- |
||||||||||
|
|
загальний |
вигляд |
|
|
під задачі: |
ні рівняння дотич- |
|||||||||||
|
|
рівняння |
нормалі |
|
1) |
|
знайдіть |
них |
та |
покажіть, |
||||||||
|
|
до графіка функції |
|
|
абсцису |
точки |
що |
система |
рів- |
|||||||||
|
|
y f (x) |
у |
точці |
перетину кривої з графіком |
нянь, складена з них, має |
||||||||||||
x0 . |
|
|
|
|
|
|
функції y x ; |
|
єдиний розв’язок. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2) |
складіть |
рівняння |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
нормалі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учимося застосовувати CAS Maple для обчислення похідної функції
4.37. Точка рухається за законом S A e kt sin t , де A, k, 0 . Знайдіть швидкість, прискорення точки в будь-який момент часу t та силу, під дією якої відбувається розглянутий рух.
Хід обчислення.
1. Відкрийте вікно CAS Maple.
105
2. За допомогою опції Insert-Execution Grope-Before Cursor отримайте в полі програми мітку 
.
3.Активізуйте зліва вкладки Expression й Greek та з отриманих шаблонів уведіть обчислення диференціалу за відповідною змінною t , після чого в окремих дужках вираз функції й символ «;».
4.Отримайте значення диференціалу функції.
5.Натисніть клавішу Enter та отримайте курсор для наступних перетворень із функцією – обчислення похідної функції другого порядку.
Як пов’язано поняття диференціала функції з інженерною практикою
Нерозривну швидкість v (м/с) руху води в каналі обчислюють за формулою v v0k 0,2 , де v0 – нерозривна швидкість потоку на глибині 1м, k
– чисельне значення середньої глибини потоку, що задано в м. Нерозривна швидкість v (м/с)руху води в каналі – це така швидкість,
за якою виключено випадіння зважених у воді часток (не відбувається замулення) і виключено розмив стінок каналу. Чи є спосіб знаходження наближеного значення нерозривної швидкості потоку за заданою
глибиною каналу? |
|
|
|
Для |
обчислення наближеного значення |
функції достатньо |
часто |
|
|
її диференціалом |
dy у |
застосовують заміну приросту функції f x x |
|||
формулі |
f x0 x f x0 f x0 x . |
|
|
З’ясуємо, які є можливості для знаходження диференціалу функції.
Складаємо опорний конспект
Диференціал функції та його геометричний зміст
|
|
|
Диференціалом dy функції y f x |
у |
|
точці x називають головну, лінійну |
|
|
щодо x , частину приросту функції f |
x |
dy ... |
в цій точці й записують |
|
|
|
|
|
106
|
Основні властивості диференціалу функції |
|
|
|
||||||||||||
Нехай u x , |
v x , |
f u |
– диференційовані |
1. |
dC ... |
, де C const . |
||||||||||
функції. Тоді мають місце рівності |
|
2. |
d u v |
... |
... . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3. d uv ... |
|
dv |
... |
du . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4. |
d Cu ... |
du . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
... |
du ... |
dv |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
5. d |
|
|
|
|
|
|
|
, v 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
6. df u ... |
du, u u x |
||||||||
|
|
|||||||||||||||
Застосування диференціалу до наближених обчислень |
||||||||||||||||
Диференціал функції |
y f x зазвичай |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
відшукують значно простіше, ніж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
приріст функції, тому для наближених |
f x x |
|
|
|
|
|
||||||||||
обчислень |
значень |
функції |
зручно |
... |
|
... |
|
x |
||||||||
використовувати формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Диференціали вищих порядків |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Диференціалом другого |
порядку двічі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
диференційованої |
|
функції |
y f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
називають |
|
диференціал |
|
від |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
диференціалу першого порядку функції |
|
|
|
|
|
d 2 y … |
|
|
|
|||||||
f x , тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Узагалі, n -м диференціалом |
d n y , або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
диференціалом n -го порядку n |
раз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
диференційованої |
функції |
y f |
x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
називають |
|
диференціал |
|
від |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
диференціала n 1 -го порядку, тобто |
|
|
|
|
|
|
d n y … |
|
|
|
||||||
Теореми диференціального числення
Теорема (Ферма). Нехай функція f x неперервна на інтервалі a,b і набуває
свого найбільшого чи найменшого значення в деякій точці c цього інтервалу. Тоді, якщо в точці c є похідна
|
|
f c , то |
f c 0 . |
Запропонуйте геометричне
тлумачення теореми
або
107
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема 3 (Ролля). |
Якщо функція f x |
Запропонуйте |
геометричне |
|||||||
неперервна на відрізку a;b , має похідну |
тлумачення теореми |
|
||||||||
в кожній точці інтервалу a;b і на кінцях |
|
|
|
|
|
|||||
відрізку |
набуває |
однакових |
значень |
|
|
|
|
|
||
f a f b , то іє принаймні одна точка |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c a;b , у якій f c 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема |
(Лагранжа). Якщо |
функція |
|
|
|
|
|
|||
f x неперервна |
на відрізку |
a;b , |
|
|
|
|
|
|||
диференційована в інтервалі a;b , то |
|
|
|
|
|
|||||
всередині |
цього інтервалу |
знайдеться |
|
|
|
|
|
|||
хоча б одна точка |
c a;b |
(рис. |
5.1), у |
|
f b f a |
… |
|
|||
якій виконується рівність |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
b a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 5.1. Геометричне тлумачення |
|
|
|
|
|
|||||
|
теореми Лагранжа |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
108 |
|
|
|
|
|
Наслідки з теореми Лагранжа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) якщо похідна |
|
0 для всіх точок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f x |
|
|
f x …; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
проміжку, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2) якщо похідна |
|
|
для всіх точок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f x c |
|
|
f x …, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
проміжку, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тобто |
|
|
|
|
|
функція |
|
|
|
|
є |
||||||||||||||||||||||||
3) якщо похідна в деякій точці додатна |
|
|
лінійною; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(від’ємна), то в околі цієї точки функція |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
зростає (спадає); |
|
|
f1 x і |
f2 x |
|
|
в |
околі цієї точки функція |
|
|
… |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) якщо |
функції |
|
|
|
( |
… ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
диференційовані |
в |
інтервалі |
a;b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
у |
точках a |
та |
b |
функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f1 x f |
2 x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
неперервні, |
|
тоді |
|
ці |
|
функції |
|
|
|
f1 x f2 x … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
відрізняються сталою c , тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Теорема (Коші). |
Якщо функції |
f x та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
g x неперервні |
на |
відрізку |
a;b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
диференційовані |
в |
інтервалі |
a;b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
причому |
|
|
|
при x a;b , то є хоча |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
g x 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f b f a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
б одна точка c a;b , у якій виконується |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g b g a |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Формули Тейлора і Маклорена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Нехай функція |
f |
x |
має в |
точці x0 і |
|
f x ... |
|
|
|
|
... |
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
... |
|
|
x |
x |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
деякому |
її |
околі |
похідні до n 1 -го |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1! |
|
|
|
2! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
порядку включно й нехай x |
– довільне |
|
... |
... |
|
x x |
|
|
|
n R |
|
x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
значення |
аргументу |
зі |
вказаного |
|
n ! |
|
0 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
околу x x0 . Тоді між точками x0 і x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
R0 x |
|
f n 1 c |
x |
x0 n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
знайдеться |
така |
точка |
c , |
що |
|
де |
|
|
|
|
|
|
|
– |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
виконується формула Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
залишковий |
|
|
|
член |
|
|
|
у |
|
|
|
формі |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лагранжа, |
|
|
|
|
|
|
|
c x0 |
x x0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Многочленом |
Тейлора |
|
називають |
|
P |
x ... |
|
|
... |
|
|
|
x x |
|
... |
... |
|
|
x x |
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||
вираз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Формулою |
|
|
Маклоренаназивають |
|
f |
x ... |
... |
|
|
|
x |
... |
|
|
x 2 |
... |
... |
|
x n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
формулу Тейлора при x0 |
0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f n 1 c |
|
|
|
|
|
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x n 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де точка c міститься між 0 і x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
109
Розкладання деяких елементарних функцій за формулою Маклорена мають вигляд:
e x ... |
... |
|
|
... |
|
... |
|
... |
Rn x ; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1! |
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ... |
|
||||||||
sin x ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3! |
|
|
2n 1 ! |
|
|||||||||||||||||||||||||
r2n 1 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
n ... |
|
|||||||||||
cos x ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
... |
|
|
|
|
|
4! |
2n ! |
||||||||||||||||||||||||
R2n x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ln 1 x ... |
... |
|
|
|
... |
|
... |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 n 1 |
... |
|
|
R x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
arctg x ... |
... |
|
|
|
... |
|
... |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 n |
... |
|
R |
|
|
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 x m 1 |
m |
x |
m m 1 |
x 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
||||
|
m m 1 m 2 |
x3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
3! |
|
|
|
|
|
|
|
||||
... |
m m 1 ... m |
n 1 |
x n R |
x , |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
зокрема при m 1 маємо формули
1 |
1 ... ... ... ... 1 n ... |
|
1 x |
||
x ; |
||
Rn |
||
1 |
1 ... ... ... ... ... Rn x |
|
|
||
1 x |
||
|
110
Правило Лопіталя
Теорема (правило Лопіталя
розкриття невизначеності |
0 |
). Нехай |
|||
0 |
|||||
функції f x , |
g x |
|
|
||
задовольняють |
|||||
умовам:
1)визначені й диференційовані
воколі точки x0 , за винятком,
можливо, |
самої точки |
|
x0 , |
причому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
в цьому околі; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
g x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2) |
lim f x lim g x 0 , |
|
|
тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x x0 |
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f x , |
g x – одночасно малі при x x0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3) є скінченна границя lim |
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Тоді |
|
є |
границя |
відношення |
lim |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
функції lim |
|
f x |
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Запишіть це ж правило Лопіталя при |
Нехай |
функції |
f x , |
|
|
|
g x |
|||||||||||||||||||||||||||||
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задовольняють умовам: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) визначені й |
диференційовані |
в |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
околі |
… , |
причому g |
|
|
|
в |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цьому околі; |
|
|
|
f x , |
|
|
g x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
… |
|
, |
тобто |
|
|
– |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одночасно малі при x .... |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) є скінченна границя |
lim |
|
|
f x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x .... |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді |
|
границя |
відношення |
|
функції |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f x |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Якщо |
після першого |
|
застосування |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
правила |
відношення |
|
f x |
є |
|
знову |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
невизначеністю |
0 |
і функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
f x , g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
задовольняють умови теореми, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
правило |
|
|
|
|
Лопіталя |
|
|
|
можна |
|
|
|
f x |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
застосовувати повторно, тоді |
|
|
|
|
lim |
|
lim |
x |
… |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
g x |
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
111
Теорема |
|
|
(правило |
|
|
|
Лопіталя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
розкриття невизначеності |
). Нехай |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f x , |
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
функції |
задовольняють |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
умовам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1) визначені |
|
й диференційовані |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
в околі точки x0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2) |
lim f x lim g x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
g x 0 в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
цьому околі; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3) |
є скінченна границя lim |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тоді є границя відношення функції |
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
lim |
f x |
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x x0 |
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Невизначеність |
0 |
(тобто |
маємо |
|
|
|
|
f x g x |
|
f x |
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
границю |
lim f x g x , |
де |
lim f x 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
lim g x ) зводять до невизначеності |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x g x |
|
|
g x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
0 |
або |
|
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Невизначеність |
|
( lim |
f x g x , |
|
|
f x g x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
коли lim f x , |
|
lim g x ) |
зводять |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g x |
|
|
|
|
|
f x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
до невизначеності |
|
0 |
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Невизначеності 1 , 00 , |
0 зводять до |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
невизначеності 0 за допомогою |
|
f x g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
попереднього |
логарифмування |
або |
|
… |
|
|
|
(з використанням |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подання функції f x g x у вигляді |
|
основної логарифмічної тотожності |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a eln a ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перевіряємо готовність до |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
практичного заняття |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5.1. Знайдіть диференціал функції y sin 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dy cos2x |
|
dy 2cos2x |
|
dy cos2xdx |
|
dy 2cos2xdx |
|
dy 0,5cos2xdx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|