5.5.2.Плоскость, перпендикулярная прямой

Задача. Через точку А провести плоскость , перпендикулярную прямой l (рис.41).

Алгоритм решения

Прямая l – общего положения, следовательно, и плоскость, ей перпендикулярная, тоже общего положения и должна быть задана определителем. Проще всего это можно сделать, задав её проходящими через точку А фронталью и горизонталью, каждая из которых перпендикулярна прямой l, при этом А₁ h₁  l₁ и А₂ l₂  f₂. Плоскость  (f h) l .

5.5.3.Взаимно перпендикулярные прямые

Определение – прямые взаимно перпендикулярны, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную другой прямой.

Задача. Из точки А опустить перпендикуляр на прямую l (рис.42).

Алгоритм решения

1. Из точки А проводим плоскость , перпендикулярную прямой l, задав её линиями уровня, перпендикулярными прямой l: А h l и А f  l (см. предыдущую задачу на рис. 41).

2. Находим точку К пересечения прямой l с плоскостью (первая основная позиционная задача):

2а. Заключаем прямую l в плоскость  П₁ : l₁ = ₁ .

2б. Строим линию m пересечения плоскостей  и  :

m₁ = ₁ , 1₂m₂ 2₂ .

2в. Находим искомую точку К : К ₂ = m₂ l₂ , K₁ l₁.

3.Строим искомый перпендикуляр к прямой l , соединяя точки А и К.

5.5.4.Взаимно перпендикулярные плоскости

Определение: плоскости взаимно перпендикулярны:- если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости; или - если плоскость перпендикулярна прямой, лежащей в другой плоскости.

Задача. Через прямую l провести плоскость, перпендикулярную плоскости (f h) (рис.43).

Алгоритм решения

1.На прямой l берем произвольную точку А.

2. Из точки А проводим перпендикуляр n (А₂ n₂  f₂ , А₁ n₁  h₁ ) к плоскости  (f h). Пересекающиеся прямые l и n задают искомую плоскость:

 (l n)   (f h).

6. Способы преобразования чертежа

Цель преобразования – упростить чертеж, расположив заданные геометрические фигуры в более удобное для решения задачи частное положение.

Основными задачами преобразований являются:

1. Прямую общего положения сделать прямой уровня.

2. Прямую общего положения сделать проецирующей прямой.

3. Плоскость общего положения сделать проецирующей.

4. Плоскость общего положения сделать плоскостью уровня.

6.1.Замена плоскостей проекций

При этом способе преобразования чертежа положение фигуры в пространстве не изменяется, а заменяют одну из основных плоскостей проекций, проводя новую – до-полнительную – плоскость проекций так, как это удобно для решения задачи. При этом новая плоскость должна быть перпендикулярной незаменяемой плоскости проекций.

Рассмотрим этот способ на простейшем примере, когда фигурой в пространстве является точка. Допустим, в системе плоскостей проекций П₁/П₂, где расположена точка А(рис.44а), решение задачи затруднено или вообще невозможно. Поэтому плоскость П₂ заменяется на дополнительную плоскость П₄ , которую располагают так, чтобы решение было облегчено. В новой системе П₁ / П₄ c новой осью проекций s₁₄ необходимо построить проекцию точки А₄. По методу ортогонального проецирования из точки А опускается перпендикуляр на П₄, а для нахождения точки его пересечения с П₄ (проекции А₄) через А₁ проводится ломаная А₁А₁₄А₄, оба звена которой перпендикулярны оси системы s₁₄.

При переходе к новой системе плоскостей проекций остаются неизменными:

- одна из плоскостей проекций и проекция фигуры в ней (в нашем случае П₁ и А₁),

- расстояние от фигуры до незаменяемой плоскости проекций (АА₁), которое проецируется в натуральную величину как в замененную, так и новую плоскости проекций (АА₁=А₂А₁₂ = А₄А₁₄).

Для преобразования пространственной конструкции (рис.44а) в плоское изображение (чертеж) плоскость П₁ вращением вокруг оси x₁₂ совмещается с П₂, а новая плоскость П₄ вращается вокруг оси s₁₄ до совмещения с П₁. При этом ломаная А₁А₁₄А₄ превращается линию связи перпендикулярную оси s₁₄ (рис.44б).

Построение проекции точки в дополнительную плоскость формализуется следующим алгоритмом:

1. Через незаменяемую проекцию точки проводят линию связи, перпендикулярную новой оси проекций.

2. На новой линии связи от точки пересечения ее с новой осью откладывают отрезок, равный расстоянию между замененной проекцией точки и замененной осью.

Задача. Прямую l общего положения сделать а) прямой уровня, б) проецирующей прямой (рис.45)

Чтобы прямую общего положения сделать прямой уровня, достаточно заменить одну из основных плоскостей проекций, проведя новую плоскость параллельно заданной прямой и перпендикулярно другой плоскости проекций. Прямую общего положения сделать проецирующей заменой только одной из основных плоскостей проекций нельзя, т.к. плоскость, перпендикулярная прямой общего положения, в системе основных плоскостей проекций займет также общее положение и ни с одной из плоскостей не образует новую ортогональную систему плоскостей проекций. Поэтому, чтобы прямую общего положения сделать проецирующей, нужны две последовательные замены обеих основных плоскостей проекций. Сначала заменой одной из плоско-стей прямую общего положения делают прямой уровня, а затем заменяют вторую основную плоскость на новую, выставляя её перпендикулярно прямой.

Алгоритм решения

1 замена: П₂ П₄ l :

П₁ / П₂ (х₁₂) П₁ / П₄ (s₁₄ l₁)

Взяв на прямой l две произвольные точки 1 и 2, строим их проекции на П₄ по алгоритму построения точек в дополнительную плоскость проекций и соединяем их прямой. Поскольку l П₄, отрезок (12) проецируется в П₄ в натуральную величину, как и угол  наклона прямой l к П₁ .

2 замена: П₁ П₅  l: П₁ / П₄ (s₁₄ )П₄ / П₅ (s₄₅  l₄ ).

Строим проекции точек 1 и 2 на П₅ по алгоритму построения точек в дополнительную плоскость. Поскольку П₅  l прямая проецируется в точку.

На базе этих задач решают метрические задачи на определение НВ отрезка прямой, углов её наклона к плоскостям проекций, расстояний между точкой и прямой, между прямыми...

Задача. Плоскость  (АВС) общего положения сделать а) проецирующей, б) плоскостью уровня (рис.46).

Чтобы плоскость общего положения сделать проецирующей, достаточно замены одной из основных плоскостей проекций. Чтобы новая плоскость проекций была перпендикулярна одновременно заданной плоскости общего положения и незаменяемой основной плоскости проекций, в заданной плоскости проводят прямую уровня, параллельную незаменяемой плоскости проекций, и новую плоскость проводят перпендикулярно этой прямой.

Чтобы плоскость общего положения сделать плоскостью уровня необходимы последовательные замены обеих основных плоскостей проекций: первой заменой плоскость общего положения делают проецирующей, а затем заменяют другую основную плоскость проекций, выставляя новую плоскость проекций параллельно заданной плоскости.

Алгоритм решения

1 замена: в ABC проводим произвольную горизонталь и П₂ П₄  h  ABC: П₁ / П₂ (x₁₂) П₁ /П₄ (s₁₄  h₁ ).

Строим по алгоритму построения точек в дополнительную плоскость проекции вершин ABC в П₄ . Поскольку h П₄ плоскость ABC проецируется в прямую, наклоненную к оси s₁₄ под углом .

2 замена: П₁ П₅ ABC: П₁ /П₄ (s₁₄) П₄ /П₅ ( s₄₅ А₄В₄С₄).

Строим по алгоритму построения точек в дополнительную плоскость проекции вершин ABC в П₅ . Поскольку плоскость ABC параллельна П₅ , то треугольник спроецируется в П₅ в натуральную величину.

Такие задачи применяют для определения НВ расстояния между точкой и плоскостью, углов наклона плоскости общего положения к плоскостям проекций, НВ плоской фигуры ….