- •Оглавление
- •1. Методы проецирования
- •1.2.Параллельное и ортогональное проецирование
- •1.3.Свойства ортогонального проецирования
- •1.4.Обратимость чертежа
- •2. Трёхкартинный чертеж точки
- •2.1.Аппарат проецирования
- •2.2.Конкурирующие точки
- •3. Чертеж прямой
- •3.1.Положение прямой относительно плоскостей проекций
- •3.1.1.Прямая общего положения.
- •3.1.2.Прямая уровня
- •3.1.3.Проецирующая прямая
- •3.2.Взаимное положение прямых
- •4. Комплексный чертеж плоскости
- •4.1.Положение плоскости относительно плоскостей проекций
- •4.1.1.Плоскость общего положения
- •4.1.2.Проецирующая плоскость
- •4.1.3.Плоскость уровня
- •4.2.Принадлежность прямой и точки плоскости
- •4.3.Прямые особого положении в плоскости
- •4.3.1.Прямая уровня плоскости
- •4.3.2.Прямая наибольшего наклона плоскости к какой-либо плоскости проекций
- •5. Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей
- •5.1.Параллельность прямой и плоскости
- •5.2.Параллельность плоскостей
- •5.3.Пересечение прямой и плоскости
- •5.3.1.Пересечение прямой и плоскости частного положения
- •5.3.2.Пересечение плоскостей, одна из которых – частного положения
- •5.4.Пересечение плоскостей общего положения (вторая основная позиционная задача
- •5.5.Перпендикулярность прямых и плоскостей
- •5.5.1.Перпендикуляр к плоскости
- •5.5.2.Плоскость, перпендикулярная прямой
- •5.5.3.Взаимно перпендикулярные прямые
- •5.5.4.Взаимно перпендикулярные плоскости
- •6. Способы преобразования чертежа
- •6.1.Замена плоскостей проекций
- •6.2.Плоскопараллельное перемещение
- •6.3.Вращение вокруг проецирующей прямой
- •6.4.Вращение вокруг прямой уровня
- •7. Многогранники
- •7.1.Пересечение многогранника плоскостью
- •7.2.Пересечение многогранника прямой
- •7.3.Взаимное пересечение многогранников
- •8. Кривые линии
- •8.11.Плоские кривые. Касательные и нормали
- •8.2.Основные свойства проекций плоских кривых линий
- •8.3.Проецирование окружности
- •8.4.Цилиндрическая винтовая линия
- •9. Криволинейные поверхности
- •9.1.Очерк поверхности
- •10. Поверхности вращения
- •10.1.Основные линии поверхности вращения.
- •10.3.Построение сечения поверхности вращения плоскостью
- •10.4.Пересечение поверхности прямой линией
- •11. Взаимное пересечение поверхностей
- •11.2.Пересечение поверхностей вращения второго порядка
- •11.2.1.Способ секущих плоскостей (рис.82)
- •11.2.2.Способ концентрических секущих сфер
- •12. Развертки поверхностей
- •12.1.Развертка призмы
- •12.2.Развертка пирамиды
- •12.3.Развертка цилиндрической поверхности
- •12.4.Развертка конической поверхности
12. Развертки поверхностей
Разверткой называется фигура, полученная совмещением с плоскостью без складок и разрывов гранной или криволинейной поверхности, которые можно представить себе как гибкую нерастяжимую пленку. Не все поверхности являются развертываемыми. К последним относятся гранные поверхности, цилиндр, конус и торс, а все остальные криволинейной поверхности можно развернуть только приближенно, заменяя (аппроксимируя) развертывающимися поверхностями.
12.1.Развертка призмы
Развертка призмы представляет собой фигуру, состоящую из натуральной величины боковых граней и обоих оснований. Мысленно разрезав многогранник по одному из боковых ребер и ребрам оснований, вращением вокруг остальных ребер последовательно совмещаем все грани с плоскостью проекций.
Для построения развертки призмы необходимо знать натуральные величины ребер призмы и нормального сечения. Нормальным называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковым ребрам. При развертывании боковой поверхности призмы нормальное сечение разворачивается в прямую, перпендикулярную проекциям боковых ребер на развертке.
Задача. Построить развертку прямой треугольной усеченной призмы (рис.87).
Т.к. призма прямая, то основание ее будет нормальным сечением, которое на П1 проецируется в натуральную величину. Ребра призмы - фронтальные прямые, следова-
тельно, на П2 они проецируются в натуральную величину. Таким образом, все необходимые данные для построения развертки уже имеются на чертеже.
Алгоритм построения развертки:
1. Строим развертку боковой поверхности усеченной призмы.
На свободном поле чертежа ( для удобства построений – в проекционной связи с фрон-тальной проекцией нижнего основания) строим развертку нормального сечения (основания) – проводим прямую, на которой откладываем НВ ребер основания, взяв их с горизонтальной проекции – [АВ] = [А1В1] и т.д.
Через построенные на развертке вершины основания проводим прямые, перпендику-лярные развертке основания, и откладываем на них НВ боковых ребер и отрезков, отсекаемых на них секущей плоскостью ; если развертка строится в проекционной связи с фронтальной проекцией призмы (как на рис.87), то для этого достаточно провести горизонтальные линии связи до пересечения с проекциями соответствующих ребер.
2. Пристраиваем к полученной развертке боковой поверхности НВ основания и сечения, строя их по их трем известным сторонам (методом триангуляции). Для построения НВ сечения выбираем в качестве исходной его сторону (23), и из точек 2 и 3 проводим дуги окружностей, радиусы которых равны соответственно [12] и [13]. Точка пересечения этих дуг и есть вершина А сечения. Аналогично строим НВ основания.
Задача. Построить развертку боковой поверхности наклонной призмы (рис.88).
Боковые ребра и нормальное сечение призмы занимают общее положение и проецируются на плоскости проекций с искажением, поэтому, прежде чем приступать к построению развертки, необходимо определить их натуральные величины.
Алгоритм решения
1. Определяем НВ боковых ребер методом замены плоскостей проекций, проводя вместо П2 дополнительную плоскость проекций П4, параллельную боковым ребрам:
: П2 П4 АD, П1 / П2 (x12) П1 /П4 ( s14 А1D1 ). Строим проекцию призмы в П4 по известному алгоритму (см. стр.21, рис.43). Проекции боковых ребер в П4 являются их НВ.
2. Определяем НВ нормального сечения. Проводим в системе П1 /П4 плоскость нормального сечения , перпендикулярную боковым ребрам. Т.к. последние параллельны П4, то прямой угол между и боковыми ребрами проецируется в П4 в НВ : 4 A4D4 . Строим проекции нормального сечения сначала в П4 (отрезок 142434), а затем в П1 , находя вершины сечения по принадлежности соответствующим ребрам. НВ нормального сечения находим методом плоско параллельного перемещения относительно П4 , выставляя при этом сечение параллельно П1 , а его проекцию параллельно оси s14 . Величина проекции на П4 при этом не изменяется : [142434] = [14*24*34*]. Строим проекцию нормального сечения на П1, находя проекции его вершин 11*,21*,31* как результат пересечения траекторий перемещения проекций вершин на П1 с соответствующими линиями связи в системе П1 /П4 . Треугольник (11*21*31*) и будет НВ нормального сечения.
3. Строим развертку боковой поверхности призмы. На свободном поле чертежа проводим прямую и строим на ней развертку нормального сечения, откладывая на ней НВ ребер нормального сечения : [12] = [11*21*] и т.д. Через построенные точки 1,2,3,1 проводим прямые, перпендикулярные развертке нормального сечения – проекции боковых ребер на развертке, и откладываем на них НВ отрезков, на которые делит ребра плоскость , беря их с проекции призмы на П4 : [A1] = [A414], [D1] = [D414] и т.д. Соединив построенные точки отрезками, получаем развертку боковой поверхности наклонной призмы.
Чтобы получить полную развертку призмы, необходимо пристроить к ней НВ верхнего и нижнего оснований, как это показано в предыдущей задаче (рис.86).