- •Оглавление
- •1. Методы проецирования
- •1.2.Параллельное и ортогональное проецирование
- •1.3.Свойства ортогонального проецирования
- •1.4.Обратимость чертежа
- •2. Трёхкартинный чертеж точки
- •2.1.Аппарат проецирования
- •2.2.Конкурирующие точки
- •3. Чертеж прямой
- •3.1.Положение прямой относительно плоскостей проекций
- •3.1.1.Прямая общего положения.
- •3.1.2.Прямая уровня
- •3.1.3.Проецирующая прямая
- •3.2.Взаимное положение прямых
- •4. Комплексный чертеж плоскости
- •4.1.Положение плоскости относительно плоскостей проекций
- •4.1.1.Плоскость общего положения
- •4.1.2.Проецирующая плоскость
- •4.1.3.Плоскость уровня
- •4.2.Принадлежность прямой и точки плоскости
- •4.3.Прямые особого положении в плоскости
- •4.3.1.Прямая уровня плоскости
- •4.3.2.Прямая наибольшего наклона плоскости к какой-либо плоскости проекций
- •5. Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей
- •5.1.Параллельность прямой и плоскости
- •5.2.Параллельность плоскостей
- •5.3.Пересечение прямой и плоскости
- •5.3.1.Пересечение прямой и плоскости частного положения
- •5.3.2.Пересечение плоскостей, одна из которых – частного положения
- •5.4.Пересечение плоскостей общего положения (вторая основная позиционная задача
- •5.5.Перпендикулярность прямых и плоскостей
- •5.5.1.Перпендикуляр к плоскости
- •5.5.2.Плоскость, перпендикулярная прямой
- •5.5.3.Взаимно перпендикулярные прямые
- •5.5.4.Взаимно перпендикулярные плоскости
- •6. Способы преобразования чертежа
- •6.1.Замена плоскостей проекций
- •6.2.Плоскопараллельное перемещение
- •6.3.Вращение вокруг проецирующей прямой
- •6.4.Вращение вокруг прямой уровня
- •7. Многогранники
- •7.1.Пересечение многогранника плоскостью
- •7.2.Пересечение многогранника прямой
- •7.3.Взаимное пересечение многогранников
- •8. Кривые линии
- •8.11.Плоские кривые. Касательные и нормали
- •8.2.Основные свойства проекций плоских кривых линий
- •8.3.Проецирование окружности
- •8.4.Цилиндрическая винтовая линия
- •9. Криволинейные поверхности
- •9.1.Очерк поверхности
- •10. Поверхности вращения
- •10.1.Основные линии поверхности вращения.
- •10.3.Построение сечения поверхности вращения плоскостью
- •10.4.Пересечение поверхности прямой линией
- •11. Взаимное пересечение поверхностей
- •11.2.Пересечение поверхностей вращения второго порядка
- •11.2.1.Способ секущих плоскостей (рис.82)
- •11.2.2.Способ концентрических секущих сфер
- •12. Развертки поверхностей
- •12.1.Развертка призмы
- •12.2.Развертка пирамиды
- •12.3.Развертка цилиндрической поверхности
- •12.4.Развертка конической поверхности
10.4.Пересечение поверхности прямой линией
В общем случае для построения точек пересечения прямой с поверхностью применяется метод вспомогательных секущих плоскостей по следующему алгоритму(рис.78):
1. Прямая l заключается в плоскость , пересекающую поверхность Ф по геометрически простой линии: l Ф.
2. Строится линия m пересечения поверхности Ф вспомогательной плоскостью :. m = Ф.
3. Искомые точки 1 и 2 находим как результат пересечения заданной прямой l с построенной линией пересечения m: 1,2 = l m.
Задача. Построить точки пересечения прямой l с поверхностью сферы Ф (О*,R) (рис.79).
Алгоритм решения
1. Заключаем прямую l в горизонтально проецирующую плоскость : l1= 1.
2. Строим линию пересечения плоскости со сферой – окружность (О, r). На П1 окружность проецируется в виде отрезка, расположенного внутри очерка сферы на вырожденной проекции 1 . Разделив отрезок пополам, находим проекцию центра О1 и радиус r сечения. На П2 окружность проецируется в виде эллипса, т.к. наклонена к П2 . Построение эллипса - графически довольно сложная задача. Поэтому для упрощения решения вводим дополнительную плоскость П4, расположив её параллельно , и переходим к новой системе плоскостей проекций П1 / П4 : П2 П4 ,
П1 / П2 (x12) П1 /П4 ( s14 1 )
Строим в П4 проекцию окружности, находя проекцию её центра по алгоритму построения точки в дополнительную плоскость.
Взяв на прямой l произвольные точки 1 и 2, строим их проекции на П4 , соединив которые получаем проекцию прямой l4
3. Находим точки А и В пересечения прямой l со сферой, сначала на П4 как результат пересечения l4 с проекцией окружности (О4 , r ), а затем по принадлежности прямой l на остальных плоскостях проекций.
4. Видимость точек А и В и прямой l определяем по представлению, рассматривая проекции совместно с направлением взгляда на соответствующую плоскость проекций, как это показано на рис.78.
11. Взаимное пересечение поверхностей
11.1.Пересечение криволинейной и гранной поверхностей
Линией пересечения (ЛП) криволинейной и гранной поверхностей является пространственная замкнутая ломаная, вершинами которой являются точки пересечения ребер многогранника с криволинейной поверхностью, а звенья - линии пересечения криволинейной поверхности с гранями многогранника. В случае врезки ЛП состоит из одной ломаной, в случае проницания - из двух (рис.80).
Особые точки ЛП:
вершины ломаной – точки пересечения ребер многогранника с поверхностью вращения;
опорные точки (граничные точки видимости) - точки пересечения очерковых образующих криволинейной поверхности с гранной поверхностью;
особые точки кривых - звеньев ЛП: центры, вершины, точки на концах осей и т.д.
Построение ЛП сводится к двум выше уже рассмотренным выше задачам: а) построить точки пересечения прямой с поверхностью и б) построить сечение поверхности плоскостью.
Задача. Построить проекции конуса с призматическим вырезом (рис.81).
Алгоритм решения
1. Определяем тип линии пересечения (ЛП). Т.к. ни одна из поверхностей не пересекает другую полностью, то данный случай - врезка и ЛП состоит из одной ломаной. Звенья ЛП - конические сечения: грань призмы Г(Г2 ), перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по дуге окружности; грань призмы (2) , плоскость которой проходит через вершину конуса, - по образующим конуса; грань призмы (2) , наклоненная к оси конуса (),- по дуге эллипса.
Т.к. грани призмы фронтально проецирующие, то на П2 проекция ЛП совпадает с проекцией призматического выреза.
2. Находим особые точки ЛП сначала на известной фронтальной проекции:
-вершины ломаной – точки пересечения ребер n и m c поверхностью конуса - совпадают с проекциями самих ребер, т.к. ребра – фронтально проецирующие: n2 = 12 =22, m2 = 32 =42.
-центр О(О2) и точки на концах осей эллипса. Продлив грань (2) до пересечения с очерковой образующей S2 B2 находим фронтальную проекцию большой оси эллипса 52 62 , разделив которую пополам находим центр О(О2) и точки 72= 82 на концах малой оси.
- граничные точки видимости находим как результат пересечения вырожденных про-екций граней призматического отверстия с очерковыми образующими конуса: граничные точки видимости на П2 – 52 = S2А2 2 , 132 = S2А2Г2 , граничные точки видимости на
П3 – 92 = S2 C2 2 , 102 = S2 D2 2 , 112 = S2 C2 Г2 , 122 = S2 D2 Г2.
На остальных проекциях найденные на П2 точки находим либо по их принадлеж-ности образующим, на которых они расположены, либо по их принадлежности конусу. Например, точки 7 и 8 находим, проведя параллель радиуса r. При этом для достижения требуемой точности построений не рекомендуется пользоваться постоянной чертежа к0 и ломаными линиями связи между П1 и П3 (см. задачу на рис.77).
3. Случайные точки (на дуге эллипса) выбираем произвольно на П2 , а другие их проекции находим по принадлежности поверхности конуса, как точки 7,8.
4. Построенные точки соединяем с учетом их видимости на проекциях, определяя ви-димость по представлению. При взгляде сверху ЛП видима полностью, не видны только ребра m и n отверстия. На П2 видимые и невидимые части ЛП совпадают. При взгляде слева (на П3) видимы части ЛП, лежащие на левой половине конуса, а также участки пря-мых (13) и (24) из-за отсутствия материала, их закрывающего.