12.2.Развертка пирамиды

Построение развертки пирамиды сводится к многократному построению методом триангуляции натуральных величин треугольников, из которых состоит боковая поверхность пирамиды, плюс НВ основания. Для этого необходимо знать НВ всех ребер пирамиды.

Задача. Построить развертку усеченной пирамиды (рис.89).

Алгоритм решения

1. Определяем НВ ребер пирамиды.

Основание АВС параллельно П₁ , поэтому ребра основания проецируются в П₁ в натуральную величину.

Боковые ребра пирамиды – общего положения и для определения их НВ применяем метод вращения вокруг горизонтально проецирующей прямой i, проходящей через вершину пирамиды S. При вращении вокруг оси i точки А, В и С описывают окружности плоскости, которых перпендикулярны оси. В П₁ эти окружности проецируются в НВ с центром в i₁ , а на П₂ – в виде отрезков, перпендикулярных i₂. Поворачиваем горизонтальные проекции боковых ребер до параллельности оси проекций x₁₂ . Тогда в пространстве ребра расположатся параллельно П₂ и спроецируются в эту плоскость в НВ. Находим проекции точек А, В и С в нужном нам положении (А₂^*, В₂^*, С₂^*) как результат пересечения линий связи, проведенных через А₁^*, В₁^*, С₁^* и траекторией перемещения фронтальных проекций точек А, В и С. Отрезки S₂А₂^*, S₂В₂^* и S₂С₂^* натуральные величины боковых ребер.

Секущая плоскость  (₂ ) фронтально проецирующая и сечение проецируется на П₂ в виде отрезка на вырожденной проекции плоскости, расположенного внутри очерка призмы. Вершины сечения на П₂ находим как результат пересечения проекций ребер с ₂ .

На натуральных величинах боковых ребер точки 1₂^*, 2₂^*, 3₂^* находим по принадлежности соответствующим

ребрам, проведя траектории точек при вращении ребер вокруг оси i.

2. Строим развертку боковой поверхности

На свободном поле чертежа проводим прямую и откладываем на ней НВ ребра SA = S₂А₂^*. Методом триангуляции строим НВ грани SAB : из точки А, как из центра, проводим дугу радиусом, равным [АВ] = [A₁B₁], а из точки S - дугу радиусом, равным [SB] = [S₂В₂^*]. Точка пересечения этих дуг – вершина В на развертке. Соединив построенные точки, получаем НВ грани ASB. Наносим сторону (12) сечения, откладывая на стороне SA отрезок [1S] = [S₂1₂^*], а на стороне SB - отрезок [2S] = [S₂2₂^*]. По аналогичному алгоритму строим на развертке НВ граней BSC и ASC, нанося на них стороны сечения (23) и (31).

3. Строим полную развертку пирамиды, пристраивая к развертке боковой поверхности НВ основания и сечения, применяя метод триангуляции, как это показано на рис.89.

12.3.Развертка цилиндрической поверхности

Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра радиуса R и высотой h представляет собой прямоугольник, одна из сторон которого равна длине 2R окружности основания, а другая высоте h цилиндра.

Если цилиндр прямой усеченный или наклонный, строится приближенная развертка: в цилиндр вписывается n-угольная призма и строится ее развертка.

Задача. Построить развертку боковой поверхности прямого кругового цилиндра, усеченного плоскостью  (рис.90).

Алгоритм решения

1. Строим развертку боковой поверхности цилиндра в проекционной связи с его фронтальной проекцией (для удобства построений).

2. В цилиндр вписываем n-угольную (на рис.90 – 8ми-угольную) правильную приз-му и строим её развертку, которая и будет приближенной разверткой усеченного цилиндра. Окружность основания и длину развертки, равную2R , где R – радиус цилиндра, делим на 8 равных частей (от 0 до ). На П₂ строим проекции ребер вписанной призмы (образующих цилиндра) и точек (1₂ …8₂) пересечения их с секущей плоскостью  (₂ ) , как результат пересечения проекций образующих с вырожденной проекцией плоскости ₂.

3. Через точки деления основания развертки проводим вертикальные отрезки, равные по величине образующим цилиндра, и находим на них точки 1…8,.проводя горизонтальные линии связи через проекции точек 1₂ …8₂ до пересечения с соответствующей образующей.

4. Построенные на развертке точки 1…8 соединяем плавной лекальной кривой. Это будет синусоида – развертка эллипса, сечения цилиндра плоскостью  . Фигура, ограниченная синусоидой, разверткой основания и образующими О и ,является разверткой боковой поверхности усеченного цилиндра (окрашено серым цветом).

5. Чтобы построить полную развертку усеченного цилиндра, необходимо добавить еще НВ основания и сечения.