7.2.Пересечение многогранника прямой

Алгоритм решения (рис.60)

1. Через прямую проводим вспомогательную секущую плоскость: l  .

2. Строим сечение многогранника плоскостью:

DEF = Ф_мн .

3. Определяем точки пересечения прямой с построенным сечением: M,N = l  DEF.

Задача. Найти точки пересечения прямой l с пирамидой SАВС (рис.61).

Алгоритм решения приведен выше:

1. l  . l₂ =  ₂ .

2. DEF = Ф_мн  D₂ = ₂ A₂ S₂ , D₁A₁S₁

E₂ = ₂ B₂S₂ , E₁ B₁S₁

F₂ = ₂ С₂S₂ , F₁ C₁S₁.

3. M,N = l  DEF M₁ = l₁ D₁E₁ , M₂ l₂

N₁ = l₁ F₁E₁ , N₂ l₂ .

Видимость определяем по представлению. Грани АSB и BSC видимы на обеих проекциях, значит, видимы и точки M и N в них лежащие и прилегающие к точкам участки прямой l . Невидимым является только участок прямой, лежащий внутри пирамиды. На П₁ невидимым будет ребро АС пирамиды: скрещивающееся и конкурирующее с ним в видимости ребро SB расположено ближе к наблюдателю.

7.3.Взаимное пересечение многогранников

Линией пересечения двух многогранников является пространственная замкнутая ломаная, вершины которой - точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго и ребер второго с гранями первого, а сторонами - линии взаимного пересечения граней многогранников.

При взаимном пересечении двух многогранников могут встретиться два случая: врезка и проницание. Врезкой называется случай, когда ни одна из поверхностей не пересекает другую полностью (рис.62а). Проницанием называется случай, когда одна из поверхностей полностью пересекается другой поверхностью (рис.62б).В случае врезки линия пересечения состоит из одной ломаной, а в случае проницания - из двух.

Задача. Построить проекции линию пересечения двух многогранников (рис.63).

Алгоритм решения

1. Т.к. ни один из многогранников не пересекает другой полностью (врезка), то линия пересечения (ЛП) - одна замкнутая ломаная. Боковые грани призмы - фронтально проецирующие, поэтому фронтальная проекция ЛП совпадает с той частью фронтальной проекции призмы, которая лежит внутри очерка пирамиды.

2. Находим вершины ломаной - точки пересечения ребер призмы с поверхностью пирамиды. Т.к. ребра призмы фронтально проецирующие, точки пересечения их с поверхностью пирамиды на П₂ совпадают с проекциями самих ребер: n₂ = 1₂ = 2₂ , l₂ = 3₂ = 4₂ .

На П₁ эти вершины находим методом вспомогательных секущих плоскостей (см. рис.61): а) проводим плоскость Г(Г₂ ) через ребро n параллельно основанию пирамиды,

б) строим сечение d пирамиды этой плоскостью: на П₂ – d₂ = Г₂ , на П₁ проекция сечения d₁ будет представлять собой треугольник, стороны которого параллельны сторонам основания – боковые грани пирамиды параллельными плоскостями пересекаются по параллельным прямым. Найдя вершину 9 сечения ( 9₂ = Г₂ ребро А₂, 9₁ребру А₁ ) строим сечение на П₁ .

в) находим 1₁ и 2₁ по принадлежности d₁ .

По аналогичному алгоритму находим вершины 3 и 4 – результат пересечения с пирамидой ребра l призмы.

Профильные проекции найденных вершин находим по двум известным.

3. Находим вершины ломаной 5, 6, 7, 8- точки пересечения ребер пирамиды с поверхностью призмы - находим сначала на П₂ как результат пересечения проекций ребер пирамиды с вырожденными проекциями граней призмы. Проекции этих вершин на П₁ и П₃ находим по принадлежности ребрам пирамиды.

4. Соединяем найденные вершины отрезками, руководствуясь правилом: соединять отрезками прямых можно только вершины, лежащие в одной грани призмы и одной грани пирамиды. Во избежание ошибок составляем последовательность соединения вершин: 1-3-6-8-4-7-2-5-1

5. Определяем видимость ЛП по представлению. Видимыми будут звенья ЛП, которые являются линиями пересечения видимых на проекции граней призмы и пирамиды. На П₁ видимы грани mn и nl призмы и части боковых граней пирамиды, расположенные выше призмы, поэтому расположенные в них участки ЛП 3-1-5-2-7-4 будут видимы. Невидимыми на П₁ являются звенья, расположенные в грани ml.

На П₃ видима грань mn призмы и лежащие в ней звенья ЛП 1-5-2. Все остальные участки ЛП либо невидимы, либо совпадают с вырожденной проекцией грани ml призмы.

6. Определяем видимость ребер пересекающихся многогранников. На П₁ ребро m видимо на всем своём протяжении, а у ребер n и l невидимы участки, расположенные внутри пирамиды. У пирамиды видимыми будут те части ребер, которые расположены выше призмы. На П₃ видимы ребра оснований пирамиды. У боковых же ребер пирамиды видимы только те участки, которые находятся вне очерка призмы и не расположены внутри призмы. У призмы на П₃ видимо ребро m и ребро n за исключением участка (12) , проходящего внутри пирамиды. Ребро l невидимо, но его проекция совпадает с проекцией ребра m .