5. Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

5.1.Параллельность прямой и плоскости

Определение: прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общей точки.

Признак: прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в плоскости.

Задача. Через точку М провести прямую l, параллельную плоскости  (ab) и П₁ (рис.33).

Алгоритм решения

1. Т.к. искомая прямая l должна быть параллельна П₁, в плоскости  (ab) проводим произвольную горизонталь h: сначала h₂x₁₂, а затемh₁по точкам 1и2: 1₁ h₁2₁

2. Через проекции точки М проводим l₂ h₂ и l₁h₁.

Задача решена: прямая l  (ab), т.к. она параллельна h, лежащей в плоскости, и l П₁,т.к. l₂ x₁₂.

5.2.Параллельность плоскостей

Определение: плоскости являются параллельными, если не имеют общей точки.

Признак: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны

Задача. Через точку М провести плоскость , параллельную плоскости  (ab) (рис.34).

Алгоритм решения

1. В заданной плоскости нет пересекающихся прямых, поэтому проводим в ней дополнительную прямую с ,пересекающую прямые, задающие плоскость  (ab).

2. Искомую плоскость  задаём двумя пересекающимися прямыми m a и l с, проведенными через точку М.

5.3.Пересечение прямой и плоскости

5.3.1.Пересечение прямой и плоскости частного положения

Задача. Построить точку К пересечения прямой l с проецирующей плоскостью  (рис.35).

Алгоритм решения

1. Точка К общая для прямой и плоскости. Из условия принадлежности её плоскости  горизонтальная проекция К₁ должна располагаться на вырожденной проекции плоскости ₁. Из условия принадлежности её прямой l проекции точки должны лежать на проекциях прямой. Следовательно, К₁ лежит в точке пересечения ₁ и l₁: l₁ К₁₁ . Фронтальная проекция К₂ находится по принадлежности прямой l : К₂  l₂.

Видимость прямой на П₂ определяем «по представлению»: рассматриваем горизонтальную проекцию совместно с направлением взгляда наблюдателя на П₂ и видим, что при взгляде на П₂ часть прямой правее точки К располагается за плоскостью  и является невидимой.

5.3.2.Пересечение плоскостей, одна из которых – частного положения

Задача. Построить линию пересечения m двух плоскостей, одна из которых - проецирующая (рис.36).

Алгоритм решения

1. Линия пересечения принадлежит фронтально проецирующей плоскости, следовательно, фронтальная проекция линии совпадает с вырожденной проекцией плоскости: m₂ = ₂ .

2. Линия пересечения m принадлежит плоскости треугольника АВС, следовательно, она пересекает стороны треугольника АВ и АС в точках 1 и 2. Построив горизонтальные проекции этих точек по принадлежности сторонам треугольника и соединив их, получаем горизонтальную проекцию искомой линии пересечения m₁ .

3. Видимость треугольника на П₁ определяем так же , как и в предыдущей задаче, «по представлению»: рассматриваем фронтальную проекцию совместно с направлением взгляда наблюдателя на П₁ и видим, что при взгляде сверху часть треугольника (А12) располагается ниже плоскости  и является невидимой.

5.3.3. Пересечение прямой и плоскости общего положения

(первая основная позиционная задача)

Алгоритм решения(рис.37)

1. Через заданную прямую l проводится проецирующая плоскость .

2. Строится линия m пересечения плоскостей  и .

3. Находится точка К пересечения прямой l с построенной линией пересечения m: l Кm. Это и есть искомая точка пересечения прямой l с плоскостью.

Задача. Построить точку К пересечения прямой l с плоскостью  (АВС) (рис.37а).

Т.к. заданные прямая и плоскость – общего положения, то применяем алгоритм решения первой основной позиционной задачи.

1. Прямую l заключаем во фронтально проецирующую плоскость  : l₂ =₂.

2. Строим линию пересечения m плоскостей  и :

2.1. Фронтальную проекцию m находим из условия её принадлежности плоскости  : m  m₂ =₂ ,

2.2. Горизонтальную проекцию m находим из условия её принадлежности плоскости  : m пересекает стороны ВС и АС:

m  m ВС =1, m АС =2.

Фронтальные проекции точек 1 и 2 находим как результат пересечения одноименных проекций m, ВС и АС: 1₂= m₂ В₂С₂, 2₂= m₂ А₂ С₂, а горизонтальные – по принадлежности сторонам треугольника: 1₁ В₁С₁, 2₁ А₁С₁ .Соединив горизонтальные проекции точек 1 и 2, получим горизонтальную проекцию линии пересечения: 1₁ m₁ 2_1.

3. Находим точку пересечения прямой l с треугольником АВС : К₁= m₁l₁, К₂ l₂.

4. Видимость прямой определяем с помощью конкурирующих точек. На прямой l берем точку 3, фронтально конкурирующую с точкой 1, по построению принадлежащей стороне ВС треугольника. Рассматриваем горизонтальную проекцию совместно с направлением взгляда на П₂. Точка 1 (треугольник) ближе к наблюдателю и заслоняет точку 3(прямую l), следовательно, правее точки К (граница видимости) прямая l является невидимой. На П₁ видимость можно определить аналогичным образом, но проще воспользоваться тем, что плоскость  (АВС) – нисходящая, и у неё на П₁ и П₂ видны разные стороны, следовательно, и разные участки прямой l: на горизонтальной проекции невидимым является участок левее точки К.