7.1.Пересечение многогранника плоскостью

При пересечении многогранника плоскостью получают многоугольник, вершины которого - точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а стороны - линии пересечения его граней с той же плоскостью (рис.56).

Задача. Построить проекции и натуральную величину сечения пирамиды SАВС плоскостью  (₁) (рис.57).

Алгоритм решения

1.Так как  - горизонтально проецирующая плоскость, то отрезок ее вырожденной проекции ₁ , лежащий внутри очерка пирамиды, - горизонтальная проекция сечения.

Вершины сечения сначала находим на П₁, как результат пересечения ₁ с проекциями ребер, а затем на остальных плоскостях проекций - по принадлежности ребрам.

2. Найденные вершины сечения соединяем отрезками, руководствуясь правилом: отрезками прямых можно соединять только точки, лежащие в одной грани многогранника.

3. НВ сечения определяем способом замены плоскостей проекций:

П₂ П₄ , П₁ / П₂ (x₁₂) П₁ /П₄ ( s₁₄ ₁ )

4. Видимость на чертеже определяем по представлению. Из двух скрещивающихся ребер SB и АС при взгляде сверху ближе к наблюдателю SB, поэтому АС на П₁ невидимо. На П₂ невидимой является грань ASC и лежащая в ней сторона сечения (12).

Задача. Построить сечение прямой призмы ABC плоскостью  (m n) общего положения (рис.58).

Алгоритм решения

1. Т.к. боковые грани и ребра призмы - горизонтально проецирующие, то горизонтальная проекция сечения DEF совпадает с горизонтальным очерком призмы, и горизонтальные проекции вершин - с горизонтальными проекциями боковых ребер: D₁= A₁, E₁= B₁, F₁= C₁.

2. На остальных плоскостях проекций вершины находим по принадлежности их секущей плоскости  (m n), проводя в ней прямые, проходящие через горизонтальные проекции вершин. Например, для нахождения фронтальных проекций вершин D и F продолжаем сторону сечения D₁Е₁ до пересечения с проекцией прямой m₁ ( D₁Е₁ m₁= 1₁ ), находим 1₂ m₂ и проводим через неё прямую, параллельную n₂ , т.к. судя по горизонтальной проекции, n DE. На пересечении этой прямой с ребрами А и В и расположены проекции вершин D₂ и E₂.

3. Видимость на П₂ определяем по представлению. При взгляде на П₂ прямая m располагается за призмой и часть её, лежащая внутри очерка призмы, будет на П₂ невидима. Соответственно, верхние части боковых ребер А,В и С будут видны вплоть до точек пересечения с плоскостью  (m n) в точках D,E,F. Невидимой на П₂ будет и грань АС призмы и лежащая в ней сторона сечения DF.

Задача. Построить проекции сечения наклонной призмы плоскостью  (h f ) (рис.59).

Алгоритм решения

Т.к. секущая плоскость, грани и ребра призмы - общего положения, то вершины сечения находим по алгоритму решения первой основной позиционной задачи: заключаем ребра призмы в проецирующие плоскости; находим линии пересечения заданной и вспомогательных плоскостей; находим точки пересечения ребер с соответствующими построенными линиями пересечения.

1. Для нахождения точки пересечения ребра А с плоскостью  заключаем ребро во фронтально проецирующую плоскость  (₂). Находим линию (12) пересечения  с заданной плоскостью:

1=  h, 2=  f.

Находим точку 3 пересечения построенной линии пересечения с ребром А : 3₁ = А₁ (1₁2₁), 3₂А₁ .

2. По аналогичному алгоритму с помощью фронтально проецирующей плоскости (₂) находим точку 6 пересечения ребра В с секущей плоскостью .

3. Т.к. основание призмы АВС лежит в одной плоскости с горизонталью h плоскости  , то горизонталь пересекает стороны основания : 7 = h ВС, 8 =h АС.

4. Остальные ребра призмы плоскостью  не пересекаются, таким образом, сечение призмы представляет собой четырехугольник. Соединяем построенные вершины сечения, руководствуясь правилом: отрезками прямых можно соединять только вершины, лежащие в одной грани многогранника. Отсюда последовательность соединения : 3-6-7-8.

5. Видимость определяем по представлению. На П₂ невидимы: часть фронтали плоскости  , расположенная за призмой; грань АВ и сторона сечения (36), в ней расположенная ; нижние части ребер А и С , расположенные за плоскостью . На П₁ невидимыми являются: часть основания призмы и прилегающие к нему нижние участки ребер А и В, расположенные под плоскостью  ; грань ВС и лежащие в ней стороны сечения (67) и (78), а также часть горизонтали h.