оцінками, які визначаються двома числами – кінцями довірчого інтервалу (див. [1, п. 6.3.1]). Довірчий інтервал містить невідоме значення відповідного параметра генеральної сукупності з певною високою довірчою ймовірністю (надійністю), значення якої або задане, або його вибирає дослідник. Довжина довірчого інтервалу характеризує точність оцінювання.

Довірчі інтервали звичайно будують, вважаючи розподіл генеральної сукупності нормальним. Приклади 1-2 з [1, п. 6.3.2] ілюструють побудову довірчого інтервалів для математичного сподівання при відомій дисперсії або при вибірках великого об'єму. Побудову довірчого інтервалів для математичного сподівання при невідомій дисперсії або для вибірок малого об'єму демонструє приклад з [3, гл. 16, § 16].

Довірчий інтервал для дисперсії з довірчою ймовірністю γ має вигляд

((n −1)s2 / χ22 , (n −1)s2 / χ12 ),

де χ21 і χ22 квантилі χ2-розподілу Пірсона із (n-1) степенем свободи рівнів (1- γ)/2 і (1+γ)/2. Для знаходження цих квантилів можна користуватися таблицею критичних точок χ2-розподілу [1, додаток 5]. Для знаходження квантиля рівня р треба взяти рівень значимості α = 1-р.

Довірчий інтервал для стандартного відхилення з довірчою ймовірністю γ має вигляд

(s /(1 + q), s /(1 −q)),

де число q знаходять за таблицею [1, додаток 4].

Врезультаті вивчення теми потрібно засвоїти такі основні поняття:

точкові оцінки параметрів розподілу, їх незсуненість, ефективність і спроможність; виправлена вибіркова дисперсія; довірчий інтервал, його надійність; інтервальні оцінки параметрів нормального розподілу.

Врезультаті вивчення теми потрібно оволодіти такими алгоритмами:

побудова довірчих інтервалів для генерального середнього при відомій та невідомій дисперсії; побудова довірчого інтервалу для генеральної дисперсії та стандартного відхилення.

План практичного заняття 13. Оцінювання параметрів генеральної сукупності.

1)Побудова довірчих інтервалів для генерального середнього: [3], с. 175, № 501, с. 178, № 510.

2)Побудова довірчих інтервалів для генеральної дисперсії та стандартного відхилення: [3], с. 178, № 512, с. 179, № 514.

3)Експрес-контроль 10. Тестування з теоретичного матеріалу лекцій 11-12: перевіряються знання основних понять математичної статистики.

Завдання до практичного заняття 13.

1)Розв'язати задачі: [3], с. 176, № 502, с. 178, № 511, с. 178, № 513, с. 179, № 515 (у

№№ 513 і 515 додатково будувати довірчі інтервали для дисперсії).

2)Виконати ІДЗ № 3. Побудова довірчих інтервалів (див. приклад розв’язання).

ТЕМА 8. СТАТИСТИЧНА ПЕРЕВІРКА ГІПОТЕЗ

Ця тема вивчається по посібниках [1, розд. 7, пп. 7.1-7.3, 7.4.1; 2, гл. 19 §§ 1-17, 20-21, 23-24, 27] і конспекту лекції 15-17.

Варто чітко усвідомити, що базовими поняттями цієї теми є поняття статистичної гіпотези та критеріїв її перевірки.

9

Необхідно чітко розуміти різницю між критеріями згоди вибіркових даних із теоретичним розподілом генеральної сукупності та критеріями перевірки гіпотез про параметри відомого розподілу генеральної сукупності (див. [1, п. 7.1]). Оскільки перевірка гіпотези здійснюється на основі випадкової вибірки, то можливі похибки 1-го та 2-го роду (див. [1, п. 7.2]). Треба добре розуміти, що означає рівень значущості критерію. Часто розподіл статистики – це один з відомих статистичних розподілів (див. [1, п. 7.3.1]).

Потрібно розібратися як будується одностороння та двостороння критичні області

(див. [1, п. 7.3.2-7.3.3]).

Перевірку гіпотези про рівність двох дисперсій нормальних генеральних сукупностей ілюструють приклади з [3, гл. 19, § 8-9]. Порівняння кількох дисперсій нормальних генеральних сукупностей можна здійснити за критеріями Бартлетта та Кочрена (див. приклади з [3, гл. 19, §§ 20-21].

Перевірку гіпотези про рівність двох середніх нормальних генеральних сукупностей, коли вибірки незалежні, а дисперсії відомі або невідомі, ілюструють приклади з [3, гл. 19, §§ 10-12]. Порівняння середнього значення нормальної генеральної сукупності, коли дисперсія відома або невідома, ілюструють приклади 1- 3 з [3, гл. 19, § 13]. Порівняння двох середніх нормальних генеральних сукупностей, коли вибірки залежні, а дисперсії невідомі, ілюструє приклад з [3, гл. 19, § 17].

Перевірка гіпотези про теоретичний розподіл генеральної сукупності базується на оцінці параметрів цього розподілу за вибіркою, обчисленні теоретичних частот та порівнянні їх з частотами, що спостерігаються у вибірці. Порівняння теоретичних і вибіркових частот за критерієм згоди Пірсона показано в прикладах з [1, п. 7.4.3; 3, гл. 19, § 23]. Методика обчислення теоретичних частот нормального розподілу показана на прикладі у [3, гл. 19, § 24].

Врезультаті вивчення теми потрібно засвоїти такі основні поняття:

види статистичних гіпотез; нульова й альтернативна гіпотези; похибки 1-го і 2-го роду; рівень значущості; критерії перевірки гіпотез; статистика критерію; критичні точки та критичні області; критерій згоди.

Врезультаті вивчення теми потрібно оволодіти такими алгоритмами:

критерій перевірки гіпотези про рівність дисперсій; перевірка гіпотези про рівність середніх; перевірка гіпотези про нормальний розподіл.

План практичного заняття 14. Перевірка гіпотез про параметри розподілу.

1)Перевірка гіпотез про дисперсії: [3], с. 211, № 560, с. 235, № 599.

2)Перевірка гіпотез про середні: [3], с. 214, № 567, с. 216, № 570, с. 219, № 574, с. 225, № 579 а), с. 227, № 581.

3)Експрес-контроль 14. Перевірка навичок побудови довірчих інтервалів для математичного сподівання, дисперсії та стандартного відхилення.

Завдання до практичного заняття 14. Розв'язати задачі: [3], с. 211, № 562, с. 235,

№ 600, с. 214, № 568, с. 216, № 571, с. 219, № 575 б), с. 225, № 579 б), с. 227, № 582.

План практичного заняття 15. Перевірка гіпотези про нормальний розподіл.

1)Задачі на критерій згоди Пірсона: [1], задачі до розділу 7, с. 249, № 3 в); [3], с. 252, № 635, с. 255, № 639.

2)Експрес-контроль 15а. Перевірка навичок перевірки гіпотез про дисперсії та середні.

Завдання до практичного заняття 15.

10