Экзаменационные задания и примеры решения типовых задач Построение проекций точки
Для изображения точки, находящейся в пространстве, необходимо взять три взаимно перпендикулярные плоскости: горизонтальную (H), фронтальную (V) и профильную (W). На ортогональном чертеже они изображаются осями проекций ОХ, ОУ, ОZ. Точку на чертеже можно построить по трем координатам Х (абсцисса), У (ордината), Z (аппликата).
Например, построим точку А с координатами Х = 60 мм, У = 40 мм, Z = 70 мм (рис. 91). Задание записывается следующим образом: А (60, 40, 70). Координаты точки всегда задаются в одинаковой последовательности: Х, У, Z. Размеры даются в миллиметрах.
Рис. 91. Построение точки А по координатам на ортогональном чертеже
Существует восемь четвертей пространства, которые называются октантами. Задачи в начертательной геометрии обычно задаются в первом октанте, где значения координат Х, У, Z положительные. Но существуют октанты, где значения координат отрицательные. На рисунке 92 показаны, по каким осям откладываются отрицательные и положительные значения координат точки.
Рис. 92. Изображение осей с отрицательными и положительными значениями координат
Задача 1
Построить три проекции точки с координатами В (-65, 30, -50). Определить, в каком октанте она находится.
Решение. Координата Х – отрицательная, значит, 65 мм отложим по оси Х справа от начала координат (О) (рис. 93). Проведем вертикальную проекционную связь. Так как знак координаты У положительный, отложим 30 мм от оси Х вниз по построенной проекционной связи, получим горизонтальную проекцию точки (В1). Значение координаты Z отрицательное, следовательно, отложим 50 мм вниз от оси Х по той же проекционной связи, получим фронтальную проекцию точки (В2).
Рис. 93. Построение трех проекций точки В
Чтобы построить профильную проекцию точки, нужно взять значение координаты У и отложить его на горизонтальной проекционной связи, проведенной из фронтальной проекции В2. Придерживаемся следующего правила: если значение У отрицательное, то его откладывают слева от оси координат; если значение У положительное, то его откладывают справа от оси координат.
Таблица 3
Знаки координат точек, находящихся в разных октантах
|
Координаты |
Октанты | |||||||
|
I |
II |
III |
IV |
V |
VI |
VII |
VIII | |
|
X |
+ |
+ |
+ |
+ |
- |
- |
- |
- |
|
У |
+ |
- |
- |
+ |
+ |
- |
- |
+ |
|
Z |
+ |
+ |
- |
- |
+ |
+ |
- |
- |
Используя таблицу 3 и зная знаки координат точки, определим принадлежность точки В октанту. Точка В лежит в VIII октанте.
Задача 2
Построить три проекции точек и определить, в каких октантах они находятся. А (-30, 10, 20), В (40, 20, -60), С (20, -40, 15).
Прямая, плоскость. Построение проекций прямой, плоскости. Нахождение натуральной величины прямой, плоскости. Метрические задачи Задача 3
Построить недостающую проекцию отрезка АВ, принадлежащего плоскости (рис. 94).
Рис. 94
Решение. Построим проекционную связь из точки А сначала параллельно оси Х до пересечения со следом П1, затем перпендикулярно оси Х до пересечения с ней и далее параллельно следу П2 . Из точки А2 опустим перпендикулярную оси Х проекционную связь и получим горизонтальную проекцию точки А (А1). Аналогично строим горизонтальную проекцию точки В (В1) (рис. 95).
Рис. 95. Нахождение второй проекции отрезка АВ