§8. Монотонні послідовності. Число
I Про границю монотонної послідовності
Уже
відомо, що збіжна послідовність –
обмежена. Однак, не всяка обмежена
послідовність має скінчену границю:
прикладом може слугувати
послідовність
.
Однією з умов, що забезпечують існування границі, є монотонність обмеженої послідовності.
Теорема. 1. Усяка обмежена монотонна послідовність має скінчену границю. 2. Усяка необмежена монотонна послідовність є нескінченно великою (певного знака).
Помітимо, що для спадної послідовності досить доводити обмеженість знизу, а для зростаючої – обмеженість зверху.
Приклад.
Розглянемо
послідовність із загальним
членом
.
Для доведення монотонності перетворимо
член
:
.
Ми
отримали
рекуренте
співвідношення
,
де
.
Члени
даної послідовності додатні, а
,
отже,
,
тобто
спадає. Її обмеженість знизу очевидна,
тому що
.
Сформульована
вище теорема забезпечує існування
скінченної границі
.
Для послідовності
легко отримати:
,
тобто
.
Тепер перейдемо до границі в обох частинах рекурентного співвідношення, причому в правій частині маємо право використовувати теорему про границю добутку (тому що й збіжні):
або
.
Звідси
одержуємо:
.
II Число е
Розглянемо
послідовність із загальним
членом
і спробуємо застосувати
до неї теорему, сформульовану
вище.
Монотонний
характер
безпосередньо не вбачається, тому що
зі
зростанням показника степені
основа
степені
спадає. Щоб переконатися в монотонності,
розкладемо степінь по формулі бінома
Ньютона:
Якщо
тепер від
перейти до
,
тобто збільшити
на одиницю, то, по-перше, додасться ще
один (додатний)
доданок, а, по-друге, кожен із уже написаних
доданків збільшиться, тому що множники
виду
заміняться більшими
множниками
.
Звідси маємо, що
,
тобто послідовність зростаюча.
В останньому виразі для замінемо всі дужки на 1. Тим самим кожний доданок збільшиться й ми одержимо оцінку:
.
З огляду
на те, що
,
підсилимо цю оцінку:
.
(Тут використана формула для суми геометричної прогресії). Отже, послідовність зростає й обмежена зверху, отже, вона має скінчену границю. Її позначають буквою . Це число
має виняткову важливість, як для самого математичного аналізу, так і для його застосування.
Лекція 5
§9. Границя функції
I Загальне означення
Домовимося
про термінологію. Термін «число
»
означає як звичайне число, так і один
із символів:
або
.
Термін «точка
»
означає як скінчену точку, так і
«нескінченно віддалену»:
,
або
.
При цьому під околом такої «нескінченно
віддаленої»
точки
розуміється інтервал
або об'єднання цих інтервалів відповідно
(при довільному
).
Околом
же скінченої точки розуміємо будь-який
інтервал, що містить
цю точку.
Для простоти формулювань і для нескінченно
великих
послідовностей будемо казати:
«послідовність сбігається (до
або
)».
Розглянемо
функцію
,
визначену
в деякому околі
точки
(за винятком, мабуть, самої точки
)
і візьмемо із цього околу послідовність
точок
відмінних від і збіжну к . Значення функції в точках цієї послідовності також утворять числову послідовність
і можна порушувати питання про існування її границі.
Означення
1
(мова
послідовностей). Число
називають границею функції
в точці
(або при
)
і пишуть
(або:
при
),
якщо для будь-якої збіжної до послідовності (1) значень аргументу , відмінних від , відповідна послідовність (2) значень функції збігається до числа .
Геометричний
зміст
рівності
:
графік
функції в околі
точки
наближається до точки
.
Приклад
1.
Обчислимо границю функції
в точці
.
Розглянемо
довільну послідовність
і
.
Для відповідної послідовності значень
функції
маємо
.
Таким чином,
.
Приклад
2.
Покажемо, що границя функції
при
не існує. Розглянемо
дві
послідовності значень аргументу зі
членами
й
.
Очевидно, що
.
При цьому для послідовностей значень
функції:
,
.
Таким
чином, для двох збіжних до 0
послідовностей значень аргументу
відповідні послідовності значень
функцій мають різні границі. А це за
означенням
границі функції й означає, що
не існує.