- •II Способи завдання функції
- •III Область визначення й область значення функції
- •IV Графік функції
- •V Дії над функціями
- •VI Елементи поводження функції
- •VII Обернена функція
- •§2. Елементарні функції
- •I Основні елементарні функції
- •II Елементарні функції
- •III Приклади неелементарних функцій
- •§3. Послідовності: основні поняття, приклади
- •I Означення
- •II Елементи поводження й операції
- •III Приклади
- •§4. Нескінченно малі послідовності і їхні властивості
- •I Два означення
- •II Дві еталонні н.М.
- •III Основні властивості
- •§5 Границя послідовності
- •I Три означення
- •II Властивості збіжних послідовностей і їхніх границь.
- •III Приклади обчислення границь
- •§6. Нескінченно великі послідовності і їхні властивості
- •I Два означення
- •II Дві еталонні н.В.
- •III Властивості н.В. Послідовностей
- •§7. Теореми про границі послідовностей
- •§8. Монотонні послідовності. Число
- •I Про границю монотонної послідовності
- •II Число е
- •§9. Границя функції
- •I Загальне означення
- •II Окремі випадки. Важливі поняття
- •III Однобічні границі
- •IV Теореми про границі функцій
- •§ 10. Визначні границі
- •I Перша визначна границя
- •II Друга визначна границя
- •§ 11. Еквівалентні н.М. І н.В. Функції
- •I Порівняння н.М. І н.Б. Функцій
- •II Еквівалентні функції: два означення
- •III Таблиця еквівалентностей
- •IV Використання еквівалентностей для обчислення границь
- •V Асимптотичні формули
- •§12. Поняття неперервності функції
- •§13. Класифікація точок розриву
- •I Означення
- •II Точка усуваного розриву
- •III Точка розриву 1го роду
- •IV Точка розриву 2го роду
- •§14. Основні властивості неперервних функцій
§ 10. Визначні границі
I Перша визначна границя
Теорема 1. .
Доведення. Спочатку доведемо основну нерівність , яка справедлива. Для цьогорозглянемо одиничне коло із центром на початку координат і нехай точка кола, що лежить у першій чверті. Через проведемо промінь, а черезточку дотичну до кола. Якщо радіанна міра дорівнює, той.Розглянемо три фігури: , секторі. Очевидно,, що означає наступне:Звідси йотримуємо основну нерівність.
Далі доведемо три леми.
Лема 1. .
Для це наслідок основної нерівності. Якщо , той томуабо. Але в інтервалій, отже,,і знову. Якщо, то. Нехай, нарешті,. Тоді, а. І знову.
Лема 2. .
Це наслідок однієї із властивостей н.м. функцій: якщо прий, то йпри, тобто.
Лема 3. .
Перетворимо: .
І знову, тому що при, то йпри. Це ж означає:.
Тепер можемо довести теорему. Нехай . Розділимо всі частини основної нерівності на:.
Переходячи до зворотних величин, одержимо:
. (1)
Застосовуючи до отриманої нерівності теорему 9 з попереднього параграфа й з огляду на те, що ,одержимо
.
Нехай тепер , тодій нерівність (1) приймаєвид
.
Беручи до уваги парність і непарність, і дляодержуємо нерівність (1), а значить і
.
Рівність однобічних границь і доводить теорему.
Якщо об'єднати доведену теорему з теоремою 10 з § 9, то можна одержати сильніший результат.
Теорема 2. Нехай довільна н.м. функція при . Тоді
.
Приклади.
1.
.
2. .
Зробимо заміну . Тодійпри. Тому
.
3. .
II Друга визначна границя
В § 8 було доведено, що границя послідовності дорівнює числу.Виявляється, цей результат справедливий і для функції при(доведення опустимо). Переходячи від нескінченновеликих до нескінченно малих одержимо т.зв. другу визначну границю.
Теорема 3. .
Більш того, для кожної примає місце рівність
.
Приклади.
4.
.
Тут знак границі був внесений під знак у зв'язку з тим, що функція неперервна (дивися про це в наступних параграфах).
5. .
Лекція 6
§ 11. Еквівалентні н.М. І н.В. Функції
I Порівняння н.М. І н.Б. Функцій
Нехай і пара н.м. або н.в. функцій при .
Означення 1. Якщо , тоговорять, що при :
1) н.м. маєбільш високий порядок малості, ніж н.м. ;
2) н.в. маєбільш низький порядок росту, ніж н.в. .
В обох випадках пишуть: “при”.
Приклади.
1. при, тому що.
2. при, тому що.
Звідси одержимо, наприклад,
, .
3. Відомий ланцюжок співвідношень (,)означає, що при
, .
Зауваження 1. Грубо говорячи, співвідношення означає, щон.м. наближається до 0 швидше, ніжн.м. , ан.в. наближається доповільніше, ніжн.в. .
Означення 2. Якщо , тоговорять, що нескінченно малі ймають однаковий порядок малості, а нескінченновеликі й однаковий порядок росту при .
Означення 3. Якщо не існує,то н.м. або н.в. іназивають непорівнянними.
Прикладом непорівнянних н.м. (при )служать функції и
II Еквівалентні функції: два означення
Означення 4. Якщо , топари н.м. або н.в. функцій іназивають еквівалентними прий пишуть :при.
Прикладами еквівалентних н.м. при служать ,,.
Приведемо кілька властивостей символу ~ :
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Зауваження 2. Для спрощення застосування еквівалентностей зручно пари будь-яких функцій називати еквівалентними, якщо границя їх відношення дорівнює 1 (іноді уточнюють: «еквівалентні в широкому сенсі»).
Для н.м. функцій можна дати ще одне означення еквівалентності (рівносильне означенню 4).
Означення 5. Нескінченно малі функції еквівалентні, якщо їхня різниця є н.м. більш високого порядку малості, ніж кожна з них:
и..