Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
70
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
2.19 Mб
Скачать

§ 10. Визначні границі

I Перша визначна границя

Теорема 1. .

Доведення. Спочатку доведемо основну нерівність , яка справедлива. Для цьогорозглянемо одиничне коло із центром на початку координат і нехай  точка кола, що лежить у першій чверті. Через проведемо промінь, а черезточку  дотичну до кола. Якщо радіанна міра дорівнює, той.Розглянемо три фігури: , секторі. Очевидно,, що означає наступне:Звідси йотримуємо основну нерівність.

Далі доведемо три леми.

Лема 1. .

Для  це наслідок основної нерівності. Якщо , той томуабо. Але в інтервалій, отже,,і знову. Якщо, то. Нехай, нарешті,. Тоді, а. І знову.

Лема 2. .

Це наслідок однієї із властивостей н.м. функцій: якщо прий, то йпри, тобто.

Лема 3. .

Перетворимо: .

І знову, тому що при, то йпри. Це ж означає:.

Тепер можемо довести теорему. Нехай . Розділимо всі частини основної нерівності на:.

Переходячи до зворотних величин, одержимо:

. (1)

Застосовуючи до отриманої нерівності теорему 9 з попереднього параграфа й з огляду на те, що ,одержимо

.

Нехай тепер , тодій нерівність (1) приймаєвид

.

Беручи до уваги парність і непарність, і дляодержуємо нерівність (1), а значить і

.

Рівність однобічних границь і доводить теорему.

Якщо об'єднати доведену теорему з теоремою 10 з § 9, то можна одержати сильніший результат.

Теорема 2. Нехай  довільна н.м. функція при . Тоді

.

Приклади.

1.

.

2. .

Зробимо заміну . Тодійпри. Тому

.

3. .

II Друга визначна границя

В § 8 було доведено, що границя послідовності дорівнює числу.Виявляється, цей результат справедливий і для функції при(доведення опустимо). Переходячи від нескінченновеликих до нескінченно малих одержимо т.зв. другу визначну границю.

Теорема 3. .

Більш того, для кожної примає місце рівність

.

Приклади.

4.

.

Тут знак границі був внесений під знак у зв'язку з тим, що функція неперервна (дивися про це в наступних параграфах).

5. .

Лекція 6

§ 11. Еквівалентні н.М. І н.В. Функції

I Порівняння н.М. І н.Б. Функцій

Нехай і пара н.м. або н.в. функцій при .

Означення 1. Якщо , тоговорять, що при :

1) н.м. маєбільш високий порядок малості, ніж н.м. ;

2) н.в. маєбільш низький порядок росту, ніж н.в. .

В обох випадках пишуть: “при”.

Приклади.

1. при, тому що.

2. при, тому що.

Звідси одержимо, наприклад,

, .

3. Відомий ланцюжок співвідношень (,)означає, що при

, .

Зауваження 1. Грубо говорячи, співвідношення означає, щон.м. наближається до 0 швидше, ніжн.м. , ан.в. наближається доповільніше, ніжн.в. .

Означення 2. Якщо , тоговорять, що нескінченно малі ймають однаковий порядок малості, а нескінченновеликі й однаковий порядок росту при .

Означення 3. Якщо не існує,то н.м. або н.в. іназивають непорівнянними.

Прикладом непорівнянних н.м. (при )служать функції и

II Еквівалентні функції: два означення

Означення 4. Якщо , топари н.м. або н.в. функцій іназивають еквівалентними прий пишуть :при.

Прикладами еквівалентних н.м. при служать ,,.

Приведемо кілька властивостей символу ~ :

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Зауваження 2. Для спрощення застосування еквівалентностей зручно пари будь-яких функцій називати еквівалентними, якщо границя їх відношення дорівнює 1 (іноді уточнюють: «еквівалентні в широкому сенсі»).

Для н.м. функцій можна дати ще одне означення еквівалентності (рівносильне означенню 4).

Означення 5. Нескінченно малі функції еквівалентні, якщо їхня різниця є н.м. більш високого порядку малості, ніж кожна з них:

и..