VII Обернена функція
Функцію y=f(x) називають оборотною на проміжку |a,b|, якщо будь-яке своє значення вона приймає не більш ніж в одній точці цього проміжку; іншими словами, якщо різним значенням аргументу відповідають різні значення функції.
Нехай
оборотна функція y=f(x)
задана на проміжку |a,b|
і нехай E(y)=|A,B|.
Кожному
y|A,B|
поставимо у відповідність те єдине
значення x[a,b],
для якого f(x)=y.
Таким чином на |A,B|
буде визначена функція
,
що називається оберненою
стосовно функції y=f(x).
Відзначимо,
що якщо
зворотна для y=f(x),
то й функція y=f(x)
є
зворотною для
.
Тому, ці дві
функції часто називають взаємно
оберненими. Такі функції мають очевидні
властивості:
.
Графіки
взаємно обернених функцій збігаються.
Можна, однак, зажадати, щоб і аргумент
оберненої функції позначався літерою
x,
тобто замість
розглядати функцію
.
Графіки
такої пари функцій y=f
(x)
і
симетричні відносно прямої
y=x.
Можна довести, що всяка строго монотонна функція має обернену, причому з тим же напрямком монотонності.
Алгоритм знаходження оберненої функції для функції y=f(x) наступний:
1) переконатися, що y=f(x) оборотна (наприклад, монотонна);
2) розв‘язати рівняння y=f(x) відносно x;
3) в отриманій рівності поміняти місцями x і y.
Приклад.
Знайдемо
обернену для функції
(т.зв. синус гіперболічний).
а)
Перевіримо монотонність. Нехай x1>x2.
Тоді
Функція
y=ex
–зростаюча, тому різниця
в першій дужці
позитивна, а y=ex
–
спадна, тому друга різниця – негативна.
Виходить, що
,
тобто
,
звідки маємо: y=
shx
– зростаюча функція, отже, оборотна.
б) Розв‘яжемо рівняння y=shx відносно x:
– не
влаштовує,
тому що
.
Отже,
,
тобто
.
в) Помінявши місцями x і y, отримаємо шукану обернену функцію:
.
§2. Елементарні функції
I Основні елементарні функції
Д
о
основних елементарних функцій відносять
константи, степеневі, показникові,
логарифмічні, тригонометричні й обернені
тригонометричні.
1) Константа y = Const.
D(y) = R, E(y)={c}.
не існує,
парна.
Графік – пряма, паралельна осі абсцис.
2)
Степенева
.
D(y) і E(y) залежать від , але
(0, +) D(y).
Парність-непарність залежить від
показника .
Обернена
для
є
.
Для <0 осі координат –
асимптоти.
3)
Показникова
(0<a1).
D(y) = R, E(y) = (0, +).
Функція загального виду.
Вісь абсцис – асимптота.
Обернена для функції є
логарифмічна функція
4
)Логарифмічна
(0<a1).
D(y) = (0, +), E(y) = R.
Функція загального виду.
Вісь ординат – асимптота.
Обернена для логарифмічної –показникова функція.
У математичному аналізі в основному використовують натуральні логарифми lnx, тобто логарифми з основою a=e=2,7…
5
)Тригонометричні
а)
.
D(y) = R, E(y) = [1, 1].
Непарна.
Періодична,
.
б)
.
D(y) = R, E(y) = [1, 1].
Парна.
Періодична, .
в
)
.
D(y)
= R \
{
, kz},
E(y) = R.
Непарна.
Періодична,
.
Прямі
асимптоти.
г)
.
D(y) = R \{k, kz}, E(y) = R
Непарна.
Періодична, .
Прямі x = k асимптоти.
6) Обернені тригонометричні
При
визначенні цих функцій вибираються
наступні проміжки
монотонності:
для синуса
,
для косинуса
[0,
],
для тангенса 
, для котангенса
(0,
).
Визначення,
наприклад, арксинуса: 
arcsina
–
це кут
такий,
що sin=a.
Інші функції визначаються
аналогічно.
а)
.
D(y) = [1, 1], E(y) = .
Непарна.
б
)
.
D(y) = [1, 1], E(y) = [0, ].
arccos(x) = arccosx.
arcsinx
+ arccosx
=
.
в)
.
D(y) = R, E(y) = .
Непарна.
Прямі
асимптоти.
г
)
.
D(y) = R, E(y) = (0, ).
arcctg(x) = arcctgx.
Прямі y = 0 і y = асимптоти.
Зауваження. Іноді до основних елементарних функцій відносять ще й т.зв. гіперболічні функції й обернені до них. Всі ці функції досить просто виражаються через показникову й логарифмічну функції.
а) синус
гіперболічний
:
D(y)
= R,
E(y)
= R,
непарна; обернена функція має вигляд y
= Arshx
=
.
б) косинус
гіперболічний
:
D(y)
= R,
E(y)
=
[1,
+),
парна;
обернена функція має вигляд y
= Archx
=
,
(у
функції
chx
береться проміжок
).
в) тангенс і котангенс гіперболічні визначаються так само, як і в тригонометрії:
,
.
Обернена
функція для y
= thx
– це y
= Arthx
=
.
Графіки
гіперболічних функцій:
