IV Графік функції

У математичному аналізі функції графічно не задають, але до графічної ілюстрації звертаються завжди.

Графіком функції y=f(x) називають множину точок (координатної пло-

щини xOy) виду

.

У простих випадках графік функції y=f(x) – це деяка крива, що володіє такою властивістю: будь-яка пряма, паралельна осі ординат, перетинає цю криву не більш ніж в одній точці. При цьому запис y=f(x) називають рівнянням цієї кривої.

Існують функції, графіки яких зобразити неможливо. Прикладом може служити функція Діріхле:

V Дії над функціями

Функція – це правило відповідності. Що ж тоді означає, наприклад, сума двох правил f і g? Це нове правило (f+g), що діє в такий спосіб: (f+g)(x)=f(x)+g(x). Аналогічно визначаються й інші арифметичні операції над функціями. Інакше кажучи, всі арифметичні дії над функціями виконуються поточечно.

Крім арифметичних операцій, є ще операція суперпозиції (накладення) функцій, що полягає в тому, що замість аргументу даної функції підставляється деяка функція від іншого аргументу. Наприклад, суперпозиція функцій і дає функцію .

У загальному випадку, якщо y=F(z), а z=(x), то змінна y, за посередництвом змінної z, сама є функцією від x: y=F((x)). Результат суперпозиції функцій називається «функція від функції» або «складна функція».

Варто підкреслити, що характеристика функції, як складної, зв'язана не із природою залежності у від х, а лише зі способом завдання цієї залежності. Наприклад, нехай , а , . Тоді . Тут основна елементарна функція sinx виявилася заданою у вигляді суперпозиції двох функцій.

Відзначимо, що в математичному аналізі розглядаються й інші операції над функціями, як то: граничний перехід, диференціювання, згортка й т.п. У таких операціях для обчислення значення функції-результату в одній точці мало знати значення функцій-операндів у цій точці. Наприклад, щоб обчислити в точці x₀, необхідно знати f(x) у деякому околі цієї точки.

VI Елементи поводження функції

До елементів поводження прийнято відносити такі властивості функцій, як парність-непарність, періодичність, монотонність і обмеженість.

1) Нехай область визначення функції y=f(x) симетрична відносно нуля. Тоді: а) f(x) називається парної, якщо f(x)=f(x); б) f(x) називається непарною, якщо (зазначені співвідношення повинні виконуватися для будь-якого x з D(y)).

Приклади парних функцій: y=cosx, y=x²+1, y=xsinx. Приклади непарних функцій: y=sinx, y=x³, y=x²tgx.

Графіки парних і непарних функцій мають корисну властивість –симетрію: графік парної функції симетричний відносно осі ординат, а графік непарної симетричний відносно початку координат.

Будь-яку функцію загального виду (тобто що не є ні парною, ні непарною) можна представити у вигляді суми парної й непарної функції:

, де  парна, а  непарна.

2) Нехай область визначення D(y) функції y=f(x) така, що із усяким x з D(y), точки x+T і xT також належать D(y). Функція y=f(x) називається періодичної, якщо для кожного виконується рівність . При цьому число називається періодом.

Прикладами періодичних функцій служать тригонометричні функції, а також y={x} – дробова частина числа x.

3. Якщо для будь-яких двох значень аргументу x₁,x₂, що належать проміжку |a,b|, з нерівності x₁>x₂ маємо:

а) , то f(x) називається зростаючою на |a,b|;

б) , то f(x) називається спадною на |a,b|;

в) , то f(x) називається неспадною на |a,b|;

г) , то f(x) називається незростаючою на |a,b|.

Функції всіх цих типів прийнято називати монотонними [у випадках а) і б) уточнюють – «строго монотонні»]. Іноді зручно й неспадну (незростаючу) функцію називати зростаючою (спадною) – але в широкому змісті.

Приклади. а) y=x² зростає на (0, +) і спадає на (, 0); б) y=x³ усюди на R зростає; б) y=arcсos x спадає на D(y)=[1,1].

4) Якщо для кожного із проміжку |a,b| існує число таке, що:

а) , то f(x) називається обмеженої зверху на |a,b|;

б) , то f(x) називається обмеженої знизу на |a,b|;

в) M>0, , то f(x) називається обмеженої на |a,b|.

Приклади: а) y=arctg x – обмежена; б) y=2^x – обмежена знизу.