130 Тема Функції декількох змінних

Лекція 17

§1. Евклідів простір: точки, множини, збіжність

I Точки, множини

Означення 1. Назвемо m-мірною точкою впорядкований набір з m довільних дійсних чисел х₁, х₂, … х^m. Позначення : М(х₁, х₂, … х^m) або Множина всіх можливих m-мірних точок називають m-мірним евклідовим простором, якщо відстань між точками М(х_k) і N(у_k) визначається по формулі

Позначення : R^m або E^m. Числа х_k, k = 1,2…m, називають координатами точки М(х_k), а точку О(0,0,…0)–початком координат.

_{Окремими випадками евклідова простора є R}² _{(площина) і R}³ _{(звичайний простір). Формула (1) є природним узагальненням відомих формул для відстані між двома точками на площині й у просторі.}

_{Для класифікації точок і множин в R}^m _{важливу роль має поняття околу.}

Означення 2. ε-околом точки М₀ називають множину точок виду . ВR¹ – це інтервал (x₀ – ε, x₀ + ε), в R² – внутрішність кола, із центром у М₀ і радіусом ε, а в R³ – внутрішність сфери із центром у М₀, і радіусом ε.

Оначення 3. Точка М₀ називається внутрішньою точкою множини G R^m, якщо існує ε таке, що О(ε,М₀) G. Точка М₀ називається граничною точкою множини G, якщо всякий її ε-окіл містить як точки, що належать G, так і точки не приналежні G.

Означення 4. Множина точок називається відкритою, якщо всі її точки внутрішні. Множину точок називають замкнутою, якщо вона містить всі свої граничні точки.

Прикладом відкритої множини може служити ε-окіл. Замкнутою множиною в R² є, наприклад, прямокутник {(х,у) : 0 ≤ х ≤ a, 0 ≤ y ≤ b}. Увесь простір R^m і порожня множина ø є й відкритими й замкнутими одночасно.

Означення 5. Множина точок називається зв'язаною, якщо будь-які дві її точки можна з'єднати неперервною лінією, що складається із точок даної множини.

Наприклад, в R² коло – це зв'язна множина, а множина, що складається із двох неперетинних кіл, не є зв'язаною.

Означення 6. Відкрита зв'язна множина називається відкритою областю або, коротше кажучи, областю. Об'єднання відкритої області з усіма її граничними точками називається замкнутою областю.

Можна довести, що замкнута область є замкнута множина.

Визначення 7. Множина точок G R^m називається обмеженою, якщо цілком міститься в деякій m-мірній“ кулі”:

G {M: d(О, M) ≤ R}.

Обмеженими є m-мірний “паралелепіпед ” (замкнутий):

{M(x_k): a_k ≤ x_k ≤b_k , k = 1,2,…m}

і m-мірний “симплекс”(відкритий):

{M(x_k): x₁ + x₂ +…+x_m<a,x_k>0,k=1,2…m}.

Відзначимо для майбутнього, що обмежена замкнута область для функції декількох змінних є аналогом замкнутого проміжку для функції однієї змінної.

.

II Збіжність

Розглянемо в R^m послідовність точок

{M_n(x₁ⁿ, x₂ⁿ,…,x_mⁿ)}, n=1,2…...

Означення 8. Говорять, що послідовність{M_n} збігається до точки М₀(а₁, а₂,…а_m) і пишуть якщо

З формули (1), що визначає відстань між точками в R^m, неважко одержати таке твердження:

збіжність {M_n} до M₀ рівносильна збіжності послідовностей {x_kⁿ} до а_k, k = 1,2,…m. Інакше кажучи, збіжність точок в R^m покоординатна.

Наприклад, послідовність двовимірних точок М_n збігається до точки М₀(0,1).