III Лінії й поверхні рівня

Дуже часто, щоб ясніше уявити собі графік функції (тобто деяку поверхню)використовують т.зв. лінії рівня.

Означення 2. Лінією рівня функції називають лінію (вобласті визначення ), уздовж якої функція приймає постійне значення, тобто лінію, рівняння якої має вигляд, де– константа.

Наприклад, для функції , лінії рівня – цедва сімейства (і) сполучених гіпербол, а також бісектриси координатнихкутів ().

Для функції трьох змінних аналогічно вводиться поняття поверхні рівня, тобто поверхні, які задаються рівняннями

.

Наслідок 3. Градієнт функції в заданій точці перпендикулярний лінії (поверхні) рівня функції, що проходить через цю точку, тобто спрямован по нормалі до лінії (поверхні) рівня.

Доведення. (Для функції двох змінних). Розглянемо рівняння лінії рівня функції :

.

Це рівняння визначає неявну функцію і її похідна має вигляд:. Рівняння нормалі до графікавточці :

.

У нашім випадку: . Це рівняння легко переписати в канонічній формі:

.

Звідси маємо: напрямний вектор нормалі . Це й означає, що градієнт функціїспрямован по нормалі до лінії рівня цієї функції.

Приклад. Для функції лінії рівня :– це сімейство еліпсів

.

Перевіримо, що сімейство парабол перетинає всі ці еліпси під прямимкутом. Диференціюємо рівняння еліпсів по :

Звідси кутовий коефіцієнт дотичної до еліпса (у довільній точці):

.

Для параболи той же коефіцієнт має вигляд:

.

Нехай –точка перетинання якого-небудь еліпса з деякою параболою. Тоді йдобуток кутових коефіцієнтів дотичних у цій точці:

.

З цього випливає, що дотичні перпендикулярні, тобто розглянуті сімейства взаємо-перпендикулярні. Градієнт функції вточці спрямован по дотичній до тієї параболи із сімейства , що проходить через, причому убік вершини параболи, тому що початок координат – це абсолютний максимум даної функції.

Одна інтерпретація отриманого результату. Поверхня, що відповідає розглянутої функції, – це еліптичний параболоїд з вершиною в точці ,розташований нижче площини . Потоки водиз такої поверхні стікають по траєкторіях, проекціями яких слугують параболи сімейства .

§14. Метод найменших квадратів

I Постановка задачі й суть методу

Припустимо, що зроблено виміри двох величин і,зв'язаних деякою залежністю . Наприклад,– температура розчинника,– кількість речовини, що розчиняється. Результативимірів зведені в таблицю:

х			...
			…

Виміри неминуче містять помилки. Тому точки ,, не “ляжуть” точно на графік функції. Наприклад, для лінійної залежностікартинка може мати вигляд:

Завдання полягає в такому виборі параметрів функції , щоб їїграфік “найкращим” чином вписувався в множину точок ,. Якміра близькості графіка до цих точок найчастіше використовується сума квадратів відхилень спостереженого значення від теоретичного значення:

Ті значення параметрів функції, які доставляють цій сумі мінімальне значення,вважаються “найкращими”.

У випадку лінійної залежності “найкращі” значення ймінімізують суму:

, (1)

тобто повинні перетворювати в нуль частинні похідні й. Обчислимо ці похідні:

,

.

Отже, для визначення стаціонарних точок функції маємо т.зв. систему нормальних рівнянь:

(2)