II Градієнт

Означення 2. Вектор, проекціями якого слугують частинні похідні функції , називається градієнтом функції

.

Для функції трьох змінних :

.

Зв'язок градієнта з похідною за напрямком дається наступною теоремою.

Теорема 2. Похідна функції за напрямком є проекція її градієнта на цей напрямок:

.

Доведення. Проекція вектора на вісь – це проекція вектора на орт осі. Проекцію же вектора на вектор можна знайти, використовуючи скалярний добуток:

.

З огляду на те, що й , причому , одержимо:

.

Права частина цієї рівності і є похідна за напрямком. Теорема доведена.

Наслідок 1. Похідна функції в точці за напрямком осі досягає максимуму, коли цей напрямок збігається із градієнтом функції, причому

.

Таким чином, градієнт функції в даній точці характеризує напрямок і величину максимальної швидкості зростання функції в даній точці.

Наслідок 2. Похідна функції за напрямком, перпендикулярному її градієнту, дорівнює нулю.

III Лінії й поверхні рівня

Дуже часто, щоб ясніше уявити собі графік функції (тобто деяку поверхню) використовують т.зв. лінії рівня.

Означення 2. Лінією рівня функції називають лінію (в області визначення ), уздовж якої функція приймає постійне значення, тобто лінію, рівняння якої має вигляд , де – константа.

Наприклад, для функції , лінії рівня – це два сімейства ( і ) сполучених гіпербол, а також бісектриси координатних кутів ( ).

Для функції трьох змінних аналогічно вводиться поняття поверхні рівня, тобто поверхні, які задаються рівняннями

.

Наслідок 3. Градієнт функції в заданій точці перпендикулярний лінії (поверхні) рівня функції, що проходить через цю точку, тобто спрямован по нормалі до лінії (поверхні) рівня.

Доведення. (Для функції двох змінних). Розглянемо рівняння лінії рівня функції :

.

Це рівняння визначає неявну функцію і її похідна має вигляд: . Рівняння нормалі до графіка в точці :

.

У нашім випадку: . Це рівняння легко переписати в канонічній формі:

.

Звідси маємо: напрямний вектор нормалі . Це й означає, що градієнт функції спрямован по нормалі до лінії рівня цієї функції.

Приклад. Для функції лінії рівня : – це сімейство еліпсів

.

Перевіримо, що сімейство парабол перетинає всі ці еліпси під прямим кутом. Диференціюємо рівняння еліпсів по :

Звідси кутовий коефіцієнт дотичної до еліпса (у довільній точці):

.

Для параболи той же коефіцієнт має вигляд:

.

Нехай – точка перетинання якого-небудь еліпса з деякою параболою. Тоді й добуток кутових коефіцієнтів дотичних у цій точці:

.

З цього випливає, що дотичні перпендикулярні, тобто розглянуті сімейства взаємо-перпендикулярні. Градієнт функції в точці спрямован по дотичній до тієї параболи із сімейства , що проходить через , причому убік вершини параболи, тому що початок координат – це абсолютний максимум даної функції.

Одна інтерпретація отриманого результату. Поверхня, що відповідає розглянутої функції, – це еліптичний параболоїд з вершиною в точці , розташований нижче площини . Потоки води з такої поверхні стікають по траєкторіях, проекціями яких слугують параболи сімейства .