§9. Дотична площина до поверхні

Розглянемо рівняння із трьома змінними . У координатному просторі воно визначає деяку поверхню ( ).

Означення 1. Точка називається звичайною, якщо в цій точці існують скінченні похідні , причому вони не дорівнюють нулю одночасно. У противному випадку точка називається особою.

Означення 2. Пряма лінія називається дотичною прямою до поверхні ( ) у її звичайній точці , якщо вона є дотичною до деякої лінії, що лежить на ( ) і проходить через точку .

Теорема. Всі дотичні прямі до поверхні в її звичайній точці лежать в одній площині.

Доведення. Нехай лінія

лежить на даній поверхні ( ): і проходить через її точку . Це означає наступне:

1) ;

2) існує значення таке, що .

Продиференціюємо тотожність із пункту 1): ≡ 0.

Розглянемо цей результат у точці :

Ліва частина останньої рівності – це скалярний добуток напрямного вектора дотичної до лінії в точці

і вектора

,

проекції якого визначаються лише поверхнею ( ) і її точкою і не залежать від лінії . Але рівність означає, що , тобто всі дотичні прямі до ( ) у її точці перпендикулярні вектору . Це ж, у свою чергу, означає, що всі ці прямі лежать в одній площині і є нормальний вектор цієї площини. Теорема доведена.

Оначення 3. Площина, у якій лежать всі дотичні прямі до поверхні в її звичайній точці, називається дотичною площиною.

Рівняння дотичної площини до поверхні ( ): у її звичайній точці має вигляд

У випадку явного завдання поверхні ( ): рівняння дотичної площини таке:

.

Означення 4. Пряма, що проходить через точку поверхні ( ) і перпендикулярна дотичній площині, називається нормаллю до поверхні.

Рівняння нормалі (канонічні):

Приклад. До поверхні ( ): провести дотичну площину , паралельну площині : .

Розв‘язування. Нормальний вектор дотичної площини складається із час-тинних похідних функції , обчислених у точці дотику:

Тому що , те й, отже , тобто

Таким чином, точка дотику така: Але значить її коор-динати задовольняють рівнянню ( ):

.

Звідси й Маємо дві точки дотику (і дві дотичні площини):

и .

Рівняння дотичних площин

и.

Після спрощення одержимо:

и .

Приведемо ряд задач для самостійного розв‘язування.

1. Дано поверхню ( ): Довести, що будь-яка дотична площина до ( ) утворює із координатними площинами тетраедр постійного об'єму.

2. Дано поверхню ( ): . Довести, що будь-яка дотична площина до ( ) відтинає від координатних осей відрізки, сума довжин яких постійна.

3. Дано поверхню ( ): де – диференційована функція. Довести, що всі дотичні площини до ( ) перетинаються в одній точці.

Лекція 20

§10. Похідні вищих порядків

Якщо функція має частинні похідні і в кож-ній точці деякої області , то вони являють собою функції двох змінних, визначенні в . Може трапитися, що ці функції мають в частинні похідні. Тоді ці похідні називаються частинними похідними другого порядку

, , , .

Використовуються й інші позначення, наприклад:

, .

Похідні й називаються змішаними похідними другого порядку. При деяких умовах змішані похідні не залежать від порядку диференціювання.

Теорема. Нехай функція має в області частинні похідні . Нехай, крім того, змішані похідні й неперервні в . Тоді має місце рівність

= .

Аналогічно похідним другого порядку вводяться частинні похідні третього, четвертого, …, -го порядку. Для змішаних похідних вищих порядків залишається справедливою сформульована вище теорема.