§12. Найбільше й найменше значення функції в області

Відомо, що, якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області, то вона досягає свого найбільшого й найменшого значення. Якщо, крім того, функція має усередині області частинні похідні то ці значення вона досягає або усередині області в стаціонарних точках, або на межі області.

Приклад. Знайти найбільше й найменше значення функції в області , обмеженої лініями:

Розв‘язування. 1) Знаходимо стаціонарні точки усередині області :

– стаціонарна точка

2) Розглянемо функцію на межі області.

2.1) Це лінійна функція, свої найбільше й найменше значення досягає на кінцях проміжку: і Маємо ще дві точки для дослідження: і .

2.2) Ця функція також лінійна, тому маємо ще дві точки: і .

2.3) Ця функція однієї змінної досягає найбільшого й найменшого значення або усередині проміжку в точці, де , або на кінцях проміжку. Похідна обертається в нуль у точках Отже, маємо ще точки: , і .

3) Обчислюємо значення функції в знайдених “підозрілих” точках і виби-раємо з отриманого ряду чисел найбільше й найменше:

Лекція 21

§13. Похідна за напрямом. Градієнт

I Похідна за напрямом

В одномірному випадку похідна функції характеризує швидкість зміни функції в даній точці у напрямку осі . У двовимірному випадку частинні похідні функції характеризують те ж саме у напрямку координатних осей.

Природно порушити питання про швидкість зміни функції у на-прямку довільної осі .

Нехай функція визначена в деякому околі точки й нехай вісь задана кутами й , які вона утворює із осями координат. Вісь зручно задавати її ортом: . Будемо вважати, що вісь проходить через точку й нехай точка – довільна точка, що лежить на осі. Тоді , тобто .

Означення 1. Нехай точка необмежено наближається до точки уздовж осі . Границя виду

(1)

називається похідною функції за напрямком осі в точці й позначається одним із символів

, , .

Теорема 1. Нехай функція має в деякому околі точки неперервні частинні похідні першого порядку й нехай вісь утворює із осями координат кути й . Тоді похідна даної функції за напрямком осі в точці існує й виражається формулою

. (2)

Доведення. Нехай – поточна точка осі . Тому що , а й у силу того, що , будемо мати:

Тобто, координати поточної точки є функції параметра . Тоді:

,

і з (1) маємо:

. (3)

Остання границя є похідна функції в нулі. Похідна ж складної функції існує, тому що має неперервні похідні, а її аргументи й – диференційовані, при цьому:

.

Розглянемо останню рівність при й одержимо

.

Тепер формула (3) і доводить теорему.

Зауваження. У випадку функції трьох змінних і осі , що має орт формула (2) здобуває вид

.

Приклад. Обчислити похідну функції в точці за напрямком вектора , де .

Розв‘язування. Знайдемо одиничний вектор, що має даний напрямок:

, , ,

звідки , . Далі, обчислимо частинні похідні даної функції в точці : , , звідки , . Тепер по формулі (2) одержимо

.