§5. Диференційованість і повний диференціал

Нагадаємо, що повним приростом функції в точці на-зивається різниця

Означення 1. Функція називається диференційованою у точці , якщо її повний приріст у цій точці може бути записаний у вигляді:

де А, В – деякі числа, що не залежать від , а α і β – нескінченно малі при

Теорема 1. Якщо функція диференційована в точці , то: 1) вона неперервна в цій точці; 2) вона має в цій точці скінченні похідні, причому .

Доведення першого твердження відразу випливає з (1) і зауваження до §3. Для доведення другого твердження покладемо в (1) тоді Розділивши обидві частини рівності на й спрямовуючи до нуля, одержимо:

тобто

Аналогічно доводиться й

На відміну від функцій однієї змінної (для яких диференційованість рівносильна існуванню скінченної похідної), для функцій декількох змінних з існування частинних похідних не випливає неперервність і диференційованість. Це доводиться наступним прикладом.

Приклад. Розглянемо функцію

Обчислимо похідну по на початку координат:

.

Аналогічно В той же час ця функція не є неперервною (а отже, є не- диференційованою) на початку координат, тому що її границя в цій точці не існує (див. приклад 2 §3).

Таким чином, функція має скінченні похідні в точці , але не є неперервною в цій точці. Ця ситуація пов'язана з тим, що існування частинних похідних у точці визначається поводженням функції на прямих а неперервність залежить від поводження функції у всьому околі точки М₀.

Приймемо без доведення теорему, що встановлює достатні умови диференційованості.

Теорема 2. Якщо функція має частинні похідні в деякому околі точки і ці похідні неперервні в самій точці , то функція диференційована в точці .

Означення 2. Головна частина повного приросту диференційованої функції, лінійна щодо приростів аргументів, називається повним диференціалом функції й позначається символом :

Якщо домовиться вважати диференціалами незалежних змінних їхні прирости, то формула (2) прийме вид:

Позначимо: це відстань між точками й . Очевидно, що наближення до нуля рівносильне одночасному наближенню до нуля приростів і . Формулу (1) можна тепер переписати у вигляді

Звідси при малих і одержимо наближену формулу

,

яка використовується в наближених обчисленнях.

Зауваження. З геометричної точки зору, диференційованість функції в точці означає наявність дотичної площини до графіку функції в точці (див. нижче §8).

§6. Похідні складних функцій

Приведемо без доведення ряд формул диференціювання складних функцій. Всі функції, що зустрічаються, однієї або декількох змінних, вважаємо диференційованими.

1. Якщо то

2. Якщо , а то для складної функції однієї змінної z(u(x),v(x)) маємо

або, використовуючи інші позначення,

Зокрема, якщо а , то

У цьому випадку похідну називають повною похідною, на відміну від – частинної похідної.

3. Якщо , а й , то для складної функції двох змінних маємо:

(3)

Зауваження 1. Формули (1), (2), (3) легко узагальнюються на випадок функцій трьох і більше змінних.

Зауваження 2. Формули (1), (2), (3) необхідні в теорії для одержання інших важливих результатів. На практиці у випадку конкретних функцій неважко виключити залежність функції від проміжних змінних. Наприклад, якщо а й , то як функція має вигляд