- •130 Тема Функції декількох змінних
- •§1. Евклідів простір: точки, множини, збіжність
- •I Точки, множини
- •II Збіжність
- •§2. Означення функції декількох змінних
- •§3. Границя функції декількох змінних. Неперервність
- •2. Розглянемо функцію й послідовністьточок
- •§4. Частинні похідні
- •§5. Диференційованість і повний диференціал
- •§6. Похідні складних функцій
- •§7. Існування й диференційованість неявної функції
- •§8. Дотична до кривої в просторі
- •I Вектор-функція і її похідна
- •II Фізичний зміст похідної вектор-функції
- •III Рівняння дотичної
- •§9. Дотична площина до поверхні
- •§10. Похідні вищих порядків
- •§11. Екстремуми функції декількох змінних
- •§12. Найбільше й найменше значення функції в області
- •§13. Похідна за напрямом. Градієнт
- •I Похідна за напрямом
- •II Градієнт
- •III Лінії й поверхні рівня
- •§14. Метод найменших квадратів
- •I Постановка задачі й суть методу
- •II Одна корисна нерівність
- •III Дослідження системи нормальних рівнянь
§2. Означення функції декількох змінних
Означення 1. Якщо кожній m-мірній точці М(х1, х2, … хm) з деякої мно-жини D Rm поставлено у відповідність за деяким правилом одне певне число u, то говорять, що на D задана функція n змінних і пишуть: u = F(x1, x2,…xn), або u = u(M).
Прикладом такої функції може слугувати середнє арифметичне коорди- нат точки:
.
Можна дати й інше, більш прозоре, означення функції, наприклад, двох змінних.
Означення 2. Нехай x, y, z – змінні величини. Якщо кожній парі можливих значень незалежних змінних х и у поставлено у відповідність за деяким правилом одне певне значення змінної z, то говорять, що z – є функція х и у і пишуть: z = f(x, y), або z = z(x, y), або z = z (M), де М(х, у).
Основний спосіб завдання функції – аналітичний у явній або неявній формі:
z = x2 + y2 , x2 + y2 + z2 = R2.
Якщо функція f(M) задана на множині D Rm, то цю множину називають областю визначення функції. Наприклад, для функції маємо:
,
а для функції –
Графік функції двох змінних z = z(x,y) – це поверхня в просторі R3 : .
§3. Границя функції декількох змінних. Неперервність
Для простоти надалі будемо розглядати функції двох змінних.
Означення 1. Число b називають границею функції z = z(x,y) у точці М0(х0,у0) і пишуть
,
якщо для будь-якої послідовності точок яказбігається до точки M0 (тобто xn→x0, yn→y0), маємо
.
Всі властивості й теореми про границі функцій однієї змінної залишаються справедливі й для функцій декількох змінних (ФДЗ). Правда, для ФДЗ немає поняття однобічних границь.
Приклади.
1. Тому що sinα ~ α, при α → 0, то
2. Розглянемо функцію й послідовністьточок
, що збігається до початку координат O(0,0). Відповідна послідовність значень функції
має границю, що залежить від послідовності {Mn}. Отже, границя функції на початку координат не існує.
Означення 2. Функція z(x,y) називається неперервною в точці , якщо
. (1)
Означення 3. Функція z (x,y) називається неперервною в області G, якщо вона неперервна в кожній точці .
Властивості ФДЗ, неперервної в обмеженій замкнутій області, аналогічні властивостям функції однієї змінної, неперервної на замкнутому проміжку. Приведемо деякі з них.
1) Функція z(х,y), неперервна в обмеженій замкнутій області, обмежена в, і досягає найбільшого й найменшого значень.
2) Якщо z(х0,y0), то в деякому околі точки функція зберігає знак.
Зауваження. Співвідношенню (1), що означає неперервність функції в точці, можна дати іншу форму.
Будемо називати повним приростом функції z(x,y) у точці
різницю:
Якщо позначити то неважкоодержати твердження:
неперервність функції z(x,y) у точці рівносильна рівності
.
Лекція 18
§4. Частинні похідні
Нехай функція z(x,y) визначена в деякому околі точки .Дамо змінної x приріст , тобто перейдемо відточки доточки . При цьомутаке, щолежить узазначеному околі точ-ки . Тодівідповідний приріст функції
називається частинним приростом функції z(x,y) у точці позмінній х.
Аналогічно визначається частинний приріст функції по змінній :
.
Означення. Границя виду називаєтьсячастинною похідною функції z(x,y) у точці позмінній і позначається одним із символів:
.
Аналогічно визначається й частинна похідна по змінній :
.
З означення випливає, що частинна похідна функції двох змінних по змінній являє собою звичайну похідну функціїоднієї змінної f(x) = z(x,y0). Тому частинні похідні обчислюються по формулах і правилам обчислення похідних функцій однієї змінної.
Приклади.
1.
2.
Зауваження. Графік функції z = z(x,y) є деяка поверхня у просторі. Тоді
–
це деяка крива (плоска) у просторі і є не що інше, як кутовий коефі-цієнт дотичної до L у точці ().