- •Тема похідна
- •§1. Задачі, що приводять до поняття похідної
- •I Задача про дотичну
- •II Задача про швидкість
- •§2. Означення й зміст похідної
- •§3. Нескінченні й однобічні похідні
- •I Нескінченні похідні
- •§4. Диференційовності функції
- •§5. Основні правила диференціювання
- •§6. Похідні основних елементарних функцій
- •III Логарифмічна функція
- •IV Тригонометричні функції
- •V Обернені тригонометричні функції
- •VI Гіперболічні й обернені гіперболічні функції
- •VII Зведення формул для похідних
- •§5 (Продовження). Основні правила диференціювання
- •VII Логарифмічна похідна
- •VIII Диференціювання оберненої функції
- •IX Диференціювання функції, даної в параметричній формі
- •X Диференціювання функції, даної неявно
- •§7. Диференціал функції
- •I Означення й геометричний зміст
- •II Інваріантність форми першого диференціала
- •III Таблиця диференціалів
- •§8. Похідні вищих порядків
- •I Означення й позначення
- •II Похідні деяких функцій
- •§2. Теорема про середнє значення
- •§3. Узагальнення формули скінчених приростів
- •§4. Розкриття невизначеностей.
- •I Поняття невизначеного виразу
- •II Невизначеності виду ,.
- •III Інші види невизначеностей.
Тема похідна
Лекція 8
§1. Задачі, що приводять до поняття похідної
I Задача про дотичну
Означення. Дотичною до лінії L у її точці М0 називається граничне положення січної M0M, коли точка M уздовж лінії L прагне довільним образом до збігу із точкою M0.
Щоб додати математичну строгість цьому визначенню, будемо вважати, що лінія L – це графік деякої функції .
Нехай– фіксованаточка графіка, а –поточнаточпка. Позначимо . Прагненняточки M до М0 рівносильне або. Черезточку М0 проходить багато прямих, всі вони відрізняються одна від одної кутовими коефіцієнтами. Дотична до графіка в точці М0 – це та пряма, кутовий коефіцієнт якої є границя кутового коефіцієнта січної M0M при :
II Задача про швидкість
Нехай по прямій, на якій обрано початок відліку, одиниця виміру й напрямок, рухається точка за законом (– це координататочки на прямій у момент часу t ). Важливою характеристикою руху є швидкість. Для рівномірного руху (тобто руху з постійною швидкістю) можна взяти довільний проміжок часу й розділити пройденийшлях на тривалість проміжкучасу, тобто на . Саме тому, що швидкість постійна,отримана відповідь не буде залежати ні від , ні від.
У загальному випадку руху зі змінною швидкістю відношення є не що інше як середня швидкістьруху за проміжок . Середня швидкість тим краще характеризуєрух, чим менше тривалість . Спрямовуючидо нуля, ми йотримаємо миттєву швидкість .
Зауваження. Дві різні задачі, розглянуті вище, привели в процесі розв‘язування до однакового результату – границі відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що останнє прагне до нуля. Є багато задач у самій математиці й у її застосуваннях, які приводять до необхідності обчислення таких границь.
§2. Означення й зміст похідної
Розглянемо функцію ,визначену в точці й у деякому їїоколі. Надамо аргументу x приріст , що не виводить аргумент за межі околиці. Функціяодержить приріст .
Визначення. Границя відношення приросту функції доприросту аргументу при(якщо ця границя існує і скінчена) позначаєтьсяй називається похідної функціїпозмінній x у точці x0.
Таким чином,
.
З означення випливає, що похідна – це число. Однак найчастіше виявляється, що це число можна обчислити не тільки в одній точці x0, а у всіх точках деякого інтервалу. Тим самим на цьому інтервалі визначається деяка нова функція, що теж називається похідної функції й позначається:. Крім цих позначеньвикористовуються й інші:
– похідна як функція (читається “де ігрек по де ікс”),
– похідна у фіксованійточці x0.
Порівнюючи результати, отримані в §1, з означенням похідної, можна надати похідній зміст:
1) якщо – законруху, то ;
2) – це кутовий коефіцієнт (тангенскута нахилу до осі Ox) дотичної до графіка функції вточці з абсцисою x0.
Використовуючи 2) легко написати рівняння дотичної:
і нормалі, тобто прямої, що проходить через точку дотику перпендикулярно дотичній:
.
Приклад. Обчислити (за означенням) похідну функції .
Зауваження 1. Похідну зручно розуміти як швидкість зміни функціїщодо аргументуx.
Зауваження 2. Відношення приросту функції доприросту аргументу називаютьрізницевим відношенням функції.