
- •Тема похідна
- •§1. Задачі, що приводять до поняття похідної
- •I Задача про дотичну
- •II Задача про швидкість
- •§2. Означення й зміст похідної
- •§3. Нескінченні й однобічні похідні
- •I Нескінченні похідні
- •§4. Диференційовності функції
- •§5. Основні правила диференціювання
- •§6. Похідні основних елементарних функцій
- •III Логарифмічна функція
- •IV Тригонометричні функції
- •V Обернені тригонометричні функції
- •VI Гіперболічні й обернені гіперболічні функції
- •VII Зведення формул для похідних
- •§5 (Продовження). Основні правила диференціювання
- •VII Логарифмічна похідна
- •VIII Диференціювання оберненої функції
- •IX Диференціювання функції, даної в параметричній формі
- •X Диференціювання функції, даної неявно
- •§7. Диференціал функції
- •I Означення й геометричний зміст
- •II Інваріантність форми першого диференціала
- •III Таблиця диференціалів
- •§8. Похідні вищих порядків
- •I Означення й позначення
- •II Похідні деяких функцій
- •§2. Теорема про середнє значення
- •§3. Узагальнення формули скінчених приростів
- •§4. Розкриття невизначеностей.
- •I Поняття невизначеного виразу
- •II Невизначеності виду ,.
- •III Інші види невизначеностей.
Тема похідна
Лекція 8
§1. Задачі, що приводять до поняття похідної
I Задача про дотичну
Означення. Дотичною до лінії L у її точці М0 називається граничне положення січної M0M, коли точка M уздовж лінії L прагне довільним образом до збігу із точкою M0.
Щоб
додати
математичну строгість цьому визначенню,
будемо вважати,
що лінія L
– це графік
деякої функції
.
Нехай
– фіксованаточка
графіка, а
–поточнаточпка.
Позначимо
.
Прагненняточки
M
до М0
рівносильне
або
.
Черезточку
М0
проходить
багато прямих, всі вони відрізняються
одна від одної кутовими коефіцієнтами.
Дотична до графіка в точці
М0
–
це та пряма, кутовий коефіцієнт якої є
границя кутового коефіцієнта січної
M0M
при
:
II Задача про швидкість
Нехай
по прямій, на якій обрано початок відліку,
одиниця виміру
й напрямок,
рухається точка
за законом
(
– це координататочки
на прямій у момент часу t
).
Важливою характеристикою руху
є
швидкість. Для рівномірного руху
(тобто руху
з
постійною швидкістю) можна взяти
довільний проміжок часу
й розділити пройденийшлях
на тривалість проміжкучасу,
тобто на
.
Саме тому, що швидкість постійна,отримана
відповідь не буде залежати ні від
,
ні від
.
У
загальному
випадку руху
зі
змінною
швидкістю відношення
є не що інше як середня швидкістьруху
за проміжок
.
Середня швидкість тим краще характеризуєрух,
чим менше тривалість
.
Спрямовуючи
до нуля, ми йотримаємо
миттєву швидкість
.
Зауваження. Дві різні задачі, розглянуті вище, привели в процесі розв‘язування до однакового результату – границі відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що останнє прагне до нуля. Є багато задач у самій математиці й у її застосуваннях, які приводять до необхідності обчислення таких границь.
§2. Означення й зміст похідної
Розглянемо
функцію
,визначену
в точці
й
у деякому їїоколі.
Надамо
аргументу
x
приріст
,
що не виводить аргумент за межі околиці.
Функціяодержить
приріст
.
Визначення.
Границя
відношення
приросту
функції
доприросту
аргументу
при
(якщо ця границя існує і скінчена)
позначається
й називається похідної функції
позмінній
x
у точці
x0.
Таким чином,
.
З
означення випливає, що похідна – це
число. Однак найчастіше виявляється,
що це число можна обчислити не тільки
в одній точці
x0,
а у всіх точках
деякого інтервалу. Тим самим
на цьому інтервалі визначається
деяка нова функція, що теж називається
похідної функції
й позначається:
.
Крім цих позначеньвикористовуються
й інші:
– похідна як функція (читається “де
ігрек по де
ікс”),
– похідна у фіксованійточці
x0.
Порівнюючи результати, отримані в §1, з означенням похідної, можна надати похідній зміст:
1) якщо
– законруху,
то
;
2)
– це кутовий коефіцієнт (тангенскута
нахилу до осі Ox)
дотичної
до графіка функції
вточці
з
абсцисою x0.
Використовуючи 2) легко написати рівняння дотичної:
і нормалі, тобто прямої, що проходить через точку дотику перпендикулярно дотичній:
.
Приклад.
Обчислити (за означенням)
похідну функції
.
Зауваження
1.
Похідну
зручно розуміти як швидкість зміни
функції
щодо аргументуx.
Зауваження
2.
Відношення
приросту
функції
доприросту
аргументу
називаютьрізницевим
відношенням
функції.