- •Тема похідна
- •§1. Задачі, що приводять до поняття похідної
- •I Задача про дотичну
- •II Задача про швидкість
- •§2. Означення й зміст похідної
- •§3. Нескінченні й однобічні похідні
- •I Нескінченні похідні
- •§4. Диференційовності функції
- •§5. Основні правила диференціювання
- •§6. Похідні основних елементарних функцій
- •III Логарифмічна функція
- •IV Тригонометричні функції
- •V Обернені тригонометричні функції
- •VI Гіперболічні й обернені гіперболічні функції
- •VII Зведення формул для похідних
- •§5 (Продовження). Основні правила диференціювання
- •VII Логарифмічна похідна
- •VIII Диференціювання оберненої функції
- •IX Диференціювання функції, даної в параметричній формі
- •X Диференціювання функції, даної неявно
- •§7. Диференціал функції
- •I Означення й геометричний зміст
- •II Інваріантність форми першого диференціала
- •III Таблиця диференціалів
- •§8. Похідні вищих порядків
- •I Означення й позначення
- •II Похідні деяких функцій
- •§2. Теорема про середнє значення
- •§3. Узагальнення формули скінчених приростів
- •§4. Розкриття невизначеностей.
- •I Поняття невизначеного виразу
- •II Невизначеності виду ,.
- •III Інші види невизначеностей.
§4. Розкриття невизначеностей.
Правило Бернуллі-Лопиталя
I Поняття невизначеного виразу
Нехай і– нескінченномалі, а й– нескінченновеликі функції при .
Невизначеними виразами (або невизначеностями) при називають наступнівирази:
1) – невизначеністьвиду ;
2) – невизначеністьвиду ;
3) – невизначеністьвиду ;
4) – невизначеністьвиду ;
5) – невизначеністьвиду ;
6) – невизначеністьвиду ;
7) – невизначеністьвиду .
Розкрити невизначеність означає обчислити границю (відповідного виразу) за умови, що .
II Невизначеності виду ,.
Теорема Бернуллі-Лопиталя. Нехай функції йзадовольняють умовам: 1) визначені й диференційовані на ; 2); 3)вираз є при невизначеністювиду або. Тоді, якщо існує границя(скінчена абонескінчена), то існує й границя , причому справедлива формула
.
Іншими словами, границю відношення двох н.м. або н.в. функцій можна замінити границею відноношення їхніх похідних, якщо остання існує – це і є правило Бернуллі-Лопиталя.
Доведення. Доведемо теорему лише для випадку .Довизначемо функції йуточці , поклавши їх рівниминулю: . Тепер ці функції неперервні на всьому замкнутому проміжку: їхнє значення вточці а збігаються з границями (адже йпри), в інших жеточках неперервність випливає з диференційованості. До цієї пари функцій можемо застосувати теорему Коші з §3:
,
де . З огляду на, що функції вточці а дорівнюють нулю, одержимо
.
Очевидно, що при й. Права частина останньої рівності має приграницю(за умовою теореми), але тоді й ліва частина має ту ж саму границю.
Зауваження 1. Аналогічне твердження має місце й для лівої границі, а також для границь на нескінченності, тобто при .
Приклад 1. Для . Цією границеюдоведено, нарешті, співвідношення , тобтопри().
Зауваження 2. Якщо похідні йзадовольняють тим же вимогам, що й самі функціїй, то правило Бернуллі-Лопиталя можна застосувати повторно.
Приклад 2. .
Неважко помітити, що
.
Інакше кажучи, абопри.
Зауваження 3. Правило Бернуллі-Лопиталя можна застосовувати тільки, коли границя відношення похідних існує. Наприклад,
,
але не існує. Цей приклад показує, що з не-існуванняне можна робитивисновку про
Зауваження 4. Існують ситуації, у яких застосування правила Бернуллі-Лопиталя нічого не дає.
Приклад 3. .
Ще одне застосування правила поверне нас до початкової границі.
III Інші види невизначеностей.
Ще раз нагадаємо, що правило Бернуллі-Лопиталя можна застосовувати лише до невизначеностей виду й. Всі інші невизначеності необхіднозводити до однієї із цих двох шляхом алгебраїчних перетворень.
А) . Тому що, то цю невизначеність можна звести доабо.
Приклад 4. Для :
.
Помітимо, що, якщо інакше перетворити добуток у частку, то застосування правила Бернуллі-Лопиталя приводить до ускладнення невизначеності:.
B) . Тому що,то дана невизна-ченість зводиться до виду . Часто, втім,того ж вдається досягти простіше.
Приклад 5.
Обчислення можна спростити, якщо перед першим застосуванням правила використати еквівалентність ,:
.
С) ,,. Тому що(основна логарифмічна тотожність) і (неперервність показникової функції), то невизначеності цих типів зводяться до невизначеностівиду .
Приклад 6. (дивися приклад 4).
Приклад 7.
(дивися приклад 1).
Зауваження 5. Розкриваючи невизначеності за правилом Бернуллі-Лопиталя, доцільно використовувати й інші методи обчислення границь: еквівалентності, заміна змінної й т.д.
Приклад 8.
(дивися приклад 2).