IV Тригонометричні функції

1. y=sinx

.

(на останньому кроці ми скористалися неперервністю косинуса).

Отже,

.

Похідні інших тригонометричних функцій можна обчислити, використовуючи означення похідної, але простіше використовувати відомі правила диференціювання й формули, що зв'язують тригонометричні функції один з одним.

2. y=cosx

.

Отже,

.

3. y=tgx

.

Отже,

.

4. y=сtgx.

Аналогічно попередньому можна одержати

(ctg .

V Обернені тригонометричні функції

Похідні цих функцій найпростіше одержати за допомогою основної тотожності, що зв'язує пари взаємно обернених функцій, а саме: .

1. y=arcsinx

Диференціюємо почленно тотожність :

(нагадаємо, що , тому ).

Отже,

.

2. y=arccosx

Відоме співвідношення й попередня формула для , дозволяють отримати

.

3. y=arctgx

Отже,

.

4. y=arcctgx

Зі співвідношення , будемо мати

.

Зауваження 3. Покажемо на прикладі як можна одержувати похідні аркфункцій, виходячи з означення похідної. Приріст арктангенса прагне до 0 при (через неперервність функції). Звідси одержуємо еквівалентність: при Тепер можна легко знайти границю різницевого відношення:

.

Зауваження 4. Похідні аркфункцій можна одержати також, використовуючи загальне правило диференціювання оберненої функції, що буде наведено нижче.

VI Гіперболічні й обернені гіперболічні функції

Ці функції елементарним образом виражаються через показникову й логарифмічну функції. Тому найпростіше знаходити їхні похідні, використовуючи відомі правила диференціювання.

Наприклад:

Похідні інших функцій цієї групи студентам пропонується одержати самостійно.

VII Зведення формул для похідних

1. , , , .

2. , .

3. , .

4. . 5. .

6. (tg . 7. (ctg .

8. . 9. .

10. . 11. .

12. . 13. .

14. . 15. .

16. .

17. .

18. .

§5 (Продовження). Основні правила диференціювання

VII Логарифмічна похідна

Нехай функція додатна й диференційована. Тоді й функція – диференційована, причому

.

Цей вираз й називається логарифмічною похідною функції . Звідси легко одержати похідну самої функції :

.

Використовуючи цю формулу, можна отримати правило диференціювання складної степенево-показникової функції:

.

Остаточно маємо формулу:

.

Зауваження 2. Загалом кажучи, завжди краще пам'ятати не зайву формулу, а прийом, що приводить до цієї формули. Для степенево-показникової функції можна запропонувати прийом, що використовує основну логарифмічну тотожність:

.

П риклади.

2.

VIII Диференціювання оберненої функції

Нехай функція в деякому околі точки – неперервна й строго монотонна, а крім того, диференційована в точці , причому . Тоді в деякому околі точки існує обернена функція , також неперервна, строго монотонна й диференційована в точці , причому

. (1)

Строге доведення наводити не будемо, але дамо геометричну ілюстрацію. При цьому використовуємо той факт, що графіки взаємо-обернених функцій і збігаються, а похідна – це кутовий коефіцієнт дотичної.

,

Формулу (1) записують ще у вигляді або .

Застосуємо останню формулу для обчислення похідної, наприклад, арксинуса:

,