IX Диференціювання функції, даної в параметричній формі

Нехай є система параметричних рівнянь , , причому функції й диференційовані й зберігає знак. Тоді на області значень функції існує диференційована функція , причому

Дійсно, з умови (або ) випливає монотонність функції ; отже, у неї існує обернена . Тоді – деяка функція від x. Її похідну можна знайти, якщо застосувати правила диференціювання складної й оберненої функцій:

Приклад. 3. Складемо рівняння дотичної до еліпса в точці , що відповідає значенню параметра .

Координати точки дотику: , . Куто-вий коефіцієнт дотичної

.

Шукане рівняння має вигляд: .

Зауваження 3. Загалом кажучи, похідна функції, даної параметрично, є функція, заданая параметрично. Методично більш правильним було б писати таку похідну у вигляді системи параметричних рівнянь:

X Диференціювання функції, даної неявно

При деяких умовах, які будуть сформульовані в темі “Функції декількох змінних”, рівняння із двома змінними виду визначає y як функцію від x: . Інакше кажучи, існує функція , що перетворює рівняння в тотожність. Похідну цієї функції можна знайти (у неявному ж вигляді), не знаходячи самої функції. Точні формули будуть дані пізніше, а зараз сформулюємо правило:

тотожність диференціюємо по x, не забуваючи, що y – це функція від x; потім з отриманої рівності знаходимо .

Приклади. 4. Дано: . Диференціюємо по x обидві частини:

. .

5. Виведемо рівняння дотичної до еліпса , що проходить через його точку . Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної. Для цього рівняння еліпса диференціюємо по x, не забуваючи, що :

.

У загальне рівняння дотичної підставимо знайдений коефіцієнт і перетворимо рівняння:

.

Через те, що точка належить еліпсу, права частина отриманого рівняння дорівнює 1. Отже, шукана дотична має рівняння

.

§7. Диференціал функції

I Означення й геометричний зміст

Відомо, що приріст диференційованої у точці функції можна записати у вигляді суми двох доданків, кожен з яких наближається до нуля при . Однак, другий доданок має порядок малості більш високий, чим перший (“швидше” наближається до нуля). Тобто в цій сумі головну роль грає перший доданок.

Означення. Головна частина приросту функції , лінійна щодо приросту аргументу x, називається диференціалом функції й позначається символом dy.

Отже,

.

Геометричний зміст бачимо з малюнка: диференціал функції – це приріст ординати дотичної до графіка функції, що відповідає приросту аргументу .

Диференціалом незалежної змінної x, прийнято називати її приріст і позначати dx: . Тоді формула для диференціала функції здобуває симетричний вигляд

або .

II Інваріантність форми першого диференціала

Правило диференціювання складної функції приводить до однієї дуже важливої властивості диференціала. Обчислимо dy для функції у двох випадках:

1) x – незалежна змінна, тоді ;

2) x – деяка функція , тоді

Порівнюючи результати, одержуємо т.зв. властивість інваріантності форми першого диференціала:

форма 1^го диференціала функції не залежить від того, є змінна x незалежною або функцією іншої змінної.