- •Тема похідна
- •§1. Задачі, що приводять до поняття похідної
- •I Задача про дотичну
- •II Задача про швидкість
- •§2. Означення й зміст похідної
- •§3. Нескінченні й однобічні похідні
- •I Нескінченні похідні
- •§4. Диференційовності функції
- •§5. Основні правила диференціювання
- •§6. Похідні основних елементарних функцій
- •III Логарифмічна функція
- •IV Тригонометричні функції
- •V Обернені тригонометричні функції
- •VI Гіперболічні й обернені гіперболічні функції
- •VII Зведення формул для похідних
- •§5 (Продовження). Основні правила диференціювання
- •VII Логарифмічна похідна
- •VIII Диференціювання оберненої функції
- •IX Диференціювання функції, даної в параметричній формі
- •X Диференціювання функції, даної неявно
- •§7. Диференціал функції
- •I Означення й геометричний зміст
- •II Інваріантність форми першого диференціала
- •III Таблиця диференціалів
- •§8. Похідні вищих порядків
- •I Означення й позначення
- •II Похідні деяких функцій
- •§2. Теорема про середнє значення
- •§3. Узагальнення формули скінчених приростів
- •§4. Розкриття невизначеностей.
- •I Поняття невизначеного виразу
- •II Невизначеності виду ,.
- •III Інші види невизначеностей.
§3. Нескінченні й однобічні похідні
I Нескінченні похідні
Означення 1. Говорять, що функція має вточці x0 нескінченну похідну, якщо
.
При цьому пишуть або.
Приклад 1. ,:
.
II Однобічні похідні
Визначення 2. Права й лівапохідні функціївточці x0, визначаються рівностями:
и .
Із загальних теорем про границі можна одержати таку теорему.
Теорема 1. Функція має вточці x0 похідну тоді й тільки тоді, коли вона має в цій точці рівні одна одній однобічні похідні.
Приклад 2. Для функції знайти праву й ліву похідну в нулі.
,
.
Тому що , тоне існує.
Наступна теорема дозволяє в деяких випадках спростити обчислення однобічних похідних.
Теорема 2. Нехай функція має в інтерваліскінчену похідну, причому, існує (скінчений чи ні) . Тоді вточці x0 існує права похідна й .
Аналогічне твердження має місце й для лівої похідної.
В §2 була обчислена похідна функції для:. Результатприклада 1 () за допомогою теореми 2виходить моментально:
.
Аналогічно виходить і . Збіг однобічних похідних означає, що й.
Зауваження. Якщо у функції існуютьскінчені, не рівні одна одній похідні й, тоу графіка функції є не співпадаючі права й ліва дотичні в точці . Такаточка графіка називається кутовою. Якщо ж похідна (хоча б однобічна) дорівнює + або , то це означає, щоу графіка є вертикальна дотична.
§4. Диференційовності функції
Означення. Говорять, що функція диференційовна в точці x0, якщо її приріст можнапредставити у вигляді
(1)
де A – деяке число, що не залежить від .
Теорема 1. Для того, щоб функція , буладиференційовна у точці x0, необхідно й достатньо, щоб вона мала в цій точці скінчену похідну.
Доведення. Необхідність. Нехай диференційовна. Розділимо обидві частини рівності (1) на :
.
Переходячи до границі при ,отримаємо
,
тобто у точці x0 існує похідна й вона дорівнює A: .
Достатність. Нехай існує скінчена похідна . Тоді
й, отже, .
У цьому співвідношенні неважко побачити рівність (1). Теорема доведена.
Таким чином, для функції однієї змінної диференційованість і існування скінченої похідної – поняття рівносильні.
Формулу
називають формулою нескінченно малих приростів.
Між поняттями диференційованості й неперервності існує зв'язок, який дається наступною теоремою.
Теорема 2. Якщо функція диференційовна в точці x0, то вона й неперервна в цій точці.
Дійсно, з формули (1) витікає, що , а це і є одне з означень неперервності.
Природно виникає питання про те, чи справедливо твердження, зворотне теоремі 2, тобто “неперервна функція диференційовна ”. На це питання варто дати негативну відповідь: існують функції, неперервні в деякій точці, але не диференційовні в даній точці. Прикладом може служити функція із приклада 2 §3: . Вона неперервна в нулі, алене існує.
Наведемо ще один приклад такої функції.
Приклад 1.
Дана функція – неелементарна, можлива точка розриву (у ційточці один елементарний вираз міняється на інший). Але
,
отже, неперервна вточці . Знайдемо похідну функції в нулі (заозначенням!):
.
Але нам уже відомо, що, коли аргумент синуса прагне в , синус границі не має. Отже, не існує, тобтоне єдиференційовна в нулі.
Зауважимо, що математиками побудовані приклади функцій, неперервних на деякому проміжку, але які не мають похідної в жодній точці цього проміжку.
Лекція 9