§2. Теорема про середнє значення

Теорема Ролля. Нехай функція задовольняє умовам: 1) неперервна на ; 2) диференційована на ; 3) . Тоді існує точка така, що .

Доведення. Через неперервность функції на замкнутому проміжку існують точки такі, що , і, тому . Для цих точок є 2 можливості: 1) вони збігаються з кінцями проміжку; 2) хоча б одна з них є внутрішньою точкою. У першому випадку із випливає, що , тобто . Тому, .

У другому випадку, точка або , що потрапила усередину проміжку, є точкою екстремуму функції й тому що диференційована в цій точці, із теоремі Ферма маємо: .

Обидві можливості приводять до того, що усередині існує точка c, у якій .

Зауваження 1. Геометричною мовою теорема Ролля означає наступне: якщо крайні ординати кривої рівні, то на кривій знайдеться точка, де дотична паралельна осі Ox. При цьому вимоги неперервності функції на й диференційованості на істотні й не можуть бути ослаблені.

Теорема Лагранжа. Нехай функція неперервна на й диференційована на . Тоді існує точка така, що має місце формула:

. (1)

Доведення. Введемо допоміжну функцію , визначивши її на рівністю: .

Ця функція, так само як і , задовольняє першим двом умовам теореми Ролля. Підберемо  так, щоб (третя умова теореми Ролля):

.

Тепер до функції можна застосувати теорему Ролля: і : , тобто

.

Теорема доведена.

Зауваження 2. Теорему Лагранжа називають основною теоремою диференціального числення, а формулу (1), записану у вигляді

, (2)

називають формулою скінчених приростів. Покладемо , а точку c, що лежить між x і запишемо у вигляді , де . Тоді:

.

Ця формула дає точне значення для приросту функції при будь-яких скінчених приростах аргументу. Цим вона відрізняється від формули нескінченно малих приростів (§4, тема “Похідна”)

,

з якої випливає лише наближена рівність

,

справедлива для досить малих .

Зауваження 3. Нехай . Тоді права частина формули (1) є кутовий коефіцієнт січної AB. Геометрично теорема Лагранжа означає наступне: на графіку функції між точками А и В найдеться точка , дотична в якій паралельна січної AB.

Незважаючи на те, що у формулі скінчених приростів фігурує невідоме число с (або ), ця формула має численні застосування.

Приклад 1. Довести оцінку

.

Для доведення розглянемо функцію . Тоді

, .

Виходить, , де . Оцінимо похідну функції

у точці с:

.

Множачи всі частини цієї подвійної нерівності на 0.2, одержимо:

.

Приклад 2. Формула (1) дозволяє доводити деякі корисні нерівності. Наприклад,

, ,

тому що . Або , якщо тільки : для .

Лекція 11

§3. Узагальнення формули скінчених приростів

Теорема Коші. Нехай функції й задовольняють умовам: 1) не-перервні на ; 2) диференційовані на ; 3) на . Тоді існує точка така, що справедлива формула:

. (1)

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію . Вона неперервна на й диференційована на . Підберемо  так, щоб :

. (2)

З таким  ця функція задовольняє умовам теореми Ролля, отже : . Але , значить і

.

Порівнюючи цю формулу з (2), одержимо (1).

Зауваження 1. Знаменник лівої частини формули (1) відмінний від нуля. У противному випадку до функції можна було б застосувати теорему Ролля й усередині одержати точку, у якій , що суперечить умові теореми Коші.

Зауваження 2. Може здатися, що теорема Коші не містить нічого нового: адже до кожної з функцій і можна застосувати формулу скінчених приростів (2) з §2. Однак, теорема Лагранжа не гарантує, що точка та сама для різних функцій.