§7. Існування й диференційованість неявної функції

Теорема. Нехай функція двох змінних і її частинні похідні й неперервні в деякому околі точки , причому: а Тоді рівняння визначає (у деякому околі точки ) єдину функцію . Ця функція диференційована і (1)

Доведемо формулу (1), приймаючи без доведення існування й диференційованість неявної функції . Те, що рівняння визначає деяку функцію , означає наступне: (у деякому околі точки ). Продиференціюємо цю тотожність почленно, використовуючи формулу (2) попереднього параграфа:

З останньої рівності й випливає формула (1).

Приклад. Розглянемо функцію й точку Обчислимо похідні: Неважко бачити, що всі умови теореми виконані: неперервні в околі точки й , Отже, у деякому околі точки , рівняння визначає деяку функцію , що перетворює рівняння в тотожність. Її похідна:

Чудово, що по властивостях функції двох змінних , заданої безпо-середньо, ми можемо судити про властивості функції , для якої безпосеред-нього завдання ми не маємо.

Зауваження 1. Геометричний зміст умови лінія, що має рівняння , має в точці невертикальну дотичну, тобто саму лінію можна розуміти як графік деякої функції (у деякому околі точки М₀).

Зауваження 2. Теорема легко узагальнюється на випадок неявних функцій декількох змінних.

Лекція 19

§8. Дотична до кривої в просторі

I Вектор-функція і її похідна

Означення 1. Якщо кожному значенню змінної t з деякої множини Т поставлено у відповідність деякий вектор , то говорять, що на множині Т задана вектор-функція

Означення 2. Вектор називають границею вектор-функції в точці й пишуть , якщо .

Означення 3. Похідною вектор-функції в точці називають границю

Якщо в просторі задана декартова прямокутна система координат, то вектор визначається своїми проекціями, тобто

або .

Таким чином, вектор-функція – це впорядкована трійка звичайних функцій однієї змінної. А тому що

,

то означення 2 рівносильне трьом рівностям

.

Аналогічно для похідної одержуємо

.

Будемо відкладати вектори , , від початку координат. Тоді їхні кінці складуть у просторі деяку лінію, що називають годографом вектора-функції . Наприклад, для вектор-функції годограф – це гвинтова лінія.

II Фізичний зміст похідної вектор-функції

Положення точки М у просторі можна задавати її координатами (у деякій системі координат), а можна задавати й радіус-вектором , де О – початок координат. Якщо точка М рухається, то залежить від часу, тобто рух точки в просторі можна задавати вектор-функцією , де t – час із деякого проміжку. Годограф цієї функції – це траєкторія руху. Похідна – це вектор миттєвої швидкості:

.

III Рівняння дотичної

Лінію в просторі звичайно задають системою параметричних рівнянь

Однак, зручно таку лінію розуміти як годограф вектор-функції

.

Нагадаємо, що, коротко говорячи, дотична до лінії L у її точці –це граничне положення січної , коли точка наближається до уздовж L. Інакше кажучи, дотична в точці – це та пряма, що проходить через , напрямний вектор якої є границею напрямного вектора січної. Нехай і Тоді

,

тобто , а отже й , слугують напрямними векторами січної. Тому

Звідси одержуємо два висновки:

1)вектор миттєвої швидкості точки спрямований по дотичній до траєк-торії руху;

2)канонічні рівняння дотичної до лінії L у точці , що відповідає значенню параметра , мають вигляд:

Приклад. Показати, що дотичні до лінії утворюють із віссю постійний кут.

Рішення. Для гвинтової лінії напрямний вектор дотичної . Якщо – кут між дотичною й віссю , то

.

Нагадаємо, що – орт осі : . Виходить,

.

Як бачимо, , а значить і , не залежать від параметра t, тобто = сonst.

Зауваження. Неважко помітити, що для плоскої лінії

рівняння дотичної має вигляд

Приклад. Скласти рівняння дотичної до еліпса

Розв‘язування.. Нехай – точка дотику, що відповідає значенню параметра : . Тоді рівняння дотичної:

Розділивши обидві частини останньої рівності на а^.b, одержимо відому формулу для дотичної до еліпса в його точці :

.