§11. Екстремуми функції декількох змінних

Нехай функція визначена в деякійобласті й нехай– внутрішняточка цієї області.

Означення 1. Говорять, що функція має вточці локальний максимум (мінімум), якщо існує такий окілточки , у якому виконується нерівність

().

Якщо знак “=” досягається тільки в точці , то максимум (мінімум) називаєтьсявласним, у противному випадку – невласним. Точки максимуму й мінімуму називаються точками екстремуму.

Теорема 1. (необхідна умова екстремуму). Якщо функція має екстремум у точці ймає в цій точці частинні похідні першого порядку, то ці похідні обертаються в нуль у точці .

Доведення. Нехай для визначеності –точка максимуму функції .Розглянемо функцію однієї змінноїТоді в деякомуоколі точки , тобтоточка – цеточка максимуму функції . Крім того, – диференційована в точці , тому що. З теореми Ферма випливає, й. Аналогічно доводиться й рівність.

Означення 2. Точки, у яких всі частинні похідні першого порядку функції обертаються в , називаються стаціонарнимиточками даної функції.

Зауваження 1. Якщо – стаціонарнаточка функції , то дотична площина до поверхні,заданої рівнянням: , уточці має рівняння, тобто горизонтальна.

Зауваження 2. Екстремуми можуть бути не тільки в стаціонарних точках, але й у точках, у яких хоча б одна з похідних і не існує або має нескінченне значення.

Зауваження 3. Не у всякій стаціонарній точці функція має екстремум. Наприклад, для функції точка – стаціонарна: частинні похідні=y, = x дорівнюють нулю на початку координат. Але в цій точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму, тому що , а в будь-якіомуоколі цієї точки функція приймає як додатні так і від‘ємні значення.

Щоб сформулювати достатню умову екстремуму функції двох змінних введемо спеціальні позначення. Нехай – стаціонарнаточка функції й нехай у їїоколі існують неперервні частинні похідні другого порядку. Позначимо ,,, (нагадаємо, що ) і

.

Теорема 2 (достатня умова екстремуму).

1. Функція z=має у своїй стаціонарнійточці екстремум, якщо , причому–точка мінімуму, якщо , іточка максимуму, якщо .

2. Якщо , то вточці немаєекстремуму.

3. Випадок вимагає додаткового дослідження.

Розглянемо тепер випадок функції змінних .Нехай точка – стаціонарнаточка, тобто Припустимо, що в деякомуоколі цієї точки існують неперервні частинні похідні другого порядку. Позначимо

i, j = 1,2,…,n .

Із цих чисел складемо матрицю . Визначники,складені з елементів перших рядків істовпців, називаються головними мінорами даної матриці:

,

Теорема 3. 1) Якщо всі головні мінори позитивні, то функція має в точці локальний мінімум. 2) Якщо знаки мінорів чергуються, причому, то–точка локального максимуму.

Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію

.

Розв‘язування. Знаходимо частинні похідні першого порядку:

Знаходимо стаціонарні точки:

Маємо дві стаціонарні точки й. Щобдослідити ці точки, обчислюємо похідні другого порядку:

Складемо із цих похідних визначник:

.

У точці :отже, уточці немаєекстремуму. У точці :отже, уточці функція маєекстремум; тому що тоцей екстремум – мінімум.

Приклад 2. Дослідити на екстремум функцію трьох змінних

.

Розв‘язування. і

Маємо дві стаціонарні точки: і. Далі:

, ,

, ,.

Обчислимо ці похідні в точці й складемо матрицю

.

Знайдемо головні мінори:

Всі головні мінори позитивні, значить –точка мінімуму.

У точці матрицядругих похідних має вигляд

Мінор Це означає, що потрібне додаткове дослідження. Уточці функція дорівнюєВ той же час, при зміні аргументів функції уздовжпрямої функція має вигляді в як завгодно маломуоколі точки приймає якдодатні, так і від‘ємні значення. Отже, у цій точці немає екстремуму.