Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
70
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
2.19 Mб
Скачать

II Дві еталонні н.М.

1) при > 0. Приклади: .

2) при. Приклади:.

Доведення першого твердження

Візьмемо й зафіксуємо число . Треба знайти номер, почи-наючиз якого

.

Як номер можна взяти, тому що, якщо, тойодержуємо . Через те,що такий номер можна знайти,то тим самим доведена нескінченна малість послідовності .

Друге твердження доводиться аналогічно, тільки для розв‘язування показникової нерівності використовуються логарифми.

III Основні властивості

Ці властивості потрібні для того, щоб доводити нескінченну малість послідовності, не застосовуючи означення (1 або 2).

  1. Нехай Тоді:

а) – обмежена;

б) ;

в) ;

г) ;

д) якщо або, то.

2) Якщо , а{xn} обмежена, то ;

3) Сума, різниця й добуток н.м. є н.м.

Для доведення 1а) візьмемо конкретне , наприклад, = 1. Тоді . Поза інтервалом (1,1) може знаходитись лише скінчена кількість членів, тобто . Через те що у скінченіймножині чисел є найбільше й найменше, то всі члени данної послідовності розташовані між і, тобто обмежена.

Доведемо властивість 2. Нехай , а обмежена, тобто . Для доведення того, що, необхідно взятидовільне й знайти номер, починаючиз якого . Отже, нехай довільне; розглянемо число . Через те що., то для цього. Тоді маємо:

,

тобто., починаючи з маємо, отже.

Приклади використання.

а) , тому що, а еталонна н.м.

б) , тому щой, а обмежена.

в) Оскільки для, то. Отже.

Зауваження. Частка двох н.м. може бути яким завгодно.

Задачі (для самостійного розв‘язування).

1. Нехай . Чи витікає звідси, щоабо?

2. Чи може серед членів н.м. послідовності бути нескінченно багато однакових членів? Якщо так, то яких?

Лекція 3

§5 Границя послідовності

I Три означення

Визначення 1. Число називають границею послідовностій пишуть, якщо послідовністьє нескінченно мала.

Використовуючи означення 1 попереднього параграфа, можна дати ще й таке означення границі.

Означення 2 (мова «»). Число називають границею послі-довності , якщо

.

Остання нерівність із модулем рівносильна подвійній нерівності або. Інакше кажучи,.Одержуємо ще одне означення границі.

Означення 3 (мова «околів»). Число називають границею послідовності, якщо кожен (як завгодно малий)-окол числа містить всі члени послідовності, починаючи з деякого номера, інакше кажучи, поза таким околом знаходиться лише скінчена кількість членів послідовності .

Зауваження.

1. З означень маємо: й, якщо.

2. Якщо для послідовності існує границя (узазначеному вище сенсі), то послідовность називається збіжною. У противному випадку послідовність називається розбіжною. Прикладами розбіжних послідовностей можуть слугувати: .

3. Означенню 1 можна дати іншу форму, більш зручну в деяких

випадках:

, де при.

Така форма дозволяє знайти границю такої, наприклад, послідовності:

.

4. (якщо існує) не залежить від будь-якої скінченної множини членів послідовності.

II Властивості збіжних послідовностей і їхніх границь.

1 Якщо послідовність збігається, то вона обмежена (ця властивість

доводиться таким же чином, як аналогічна властивість н.м.)

2. Нехай . Тоді:

а) ;

б) ;

в) .

3.

4. Якщо , то всі члени послідовності, починаючиз деякого номера, також додатні і, більш того, ці члени відмежовані від нуля: .

Для доведення досить в означенні 3 покласти . Очевидно, щоподібна властивість справедливо й для .

5. Якщо й, то обмежена.