- •II Способи завдання функції
- •III Область визначення й область значення функції
- •IV Графік функції
- •V Дії над функціями
- •VI Елементи поводження функції
- •VII Обернена функція
- •§2. Елементарні функції
- •I Основні елементарні функції
- •II Елементарні функції
- •III Приклади неелементарних функцій
- •§3. Послідовності: основні поняття, приклади
- •I Означення
- •II Елементи поводження й операції
- •III Приклади
- •§4. Нескінченно малі послідовності і їхні властивості
- •I Два означення
- •II Дві еталонні н.М.
- •III Основні властивості
- •§5 Границя послідовності
- •I Три означення
- •II Властивості збіжних послідовностей і їхніх границь.
- •III Приклади обчислення границь
- •§6. Нескінченно великі послідовності і їхні властивості
- •I Два означення
- •II Дві еталонні н.В.
- •III Властивості н.В. Послідовностей
- •§7. Теореми про границі послідовностей
- •§8. Монотонні послідовності. Число
- •I Про границю монотонної послідовності
- •II Число е
- •§9. Границя функції
- •I Загальне означення
- •II Окремі випадки. Важливі поняття
- •III Однобічні границі
- •IV Теореми про границі функцій
- •§ 10. Визначні границі
- •I Перша визначна границя
- •II Друга визначна границя
- •§ 11. Еквівалентні н.М. І н.В. Функції
- •I Порівняння н.М. І н.Б. Функцій
- •II Еквівалентні функції: два означення
- •III Таблиця еквівалентностей
- •IV Використання еквівалентностей для обчислення границь
- •V Асимптотичні формули
- •§12. Поняття неперервності функції
- •§13. Класифікація точок розриву
- •I Означення
- •II Точка усуваного розриву
- •III Точка розриву 1го роду
- •IV Точка розриву 2го роду
- •§14. Основні властивості неперервних функцій
II Дві еталонні н.М.
1) при > 0. Приклади: .
2) при. Приклади:.
Доведення першого твердження
Візьмемо й зафіксуємо число . Треба знайти номер, почи-наючиз якого
.
Як номер можна взяти, тому що, якщо, тойодержуємо . Через те,що такий номер можна знайти,то тим самим доведена нескінченна малість послідовності .
Друге твердження доводиться аналогічно, тільки для розв‘язування показникової нерівності використовуються логарифми.
III Основні властивості
Ці властивості потрібні для того, щоб доводити нескінченну малість послідовності, не застосовуючи означення (1 або 2).
Нехай Тоді:
а) – обмежена;
б) ;
в) ;
г) ;
д) якщо або, то.
2) Якщо , а{xn} обмежена, то ;
3) Сума, різниця й добуток н.м. є н.м.
Для доведення 1а) візьмемо конкретне , наприклад, = 1. Тоді . Поза інтервалом (1,1) може знаходитись лише скінчена кількість членів, тобто . Через те що у скінченіймножині чисел є найбільше й найменше, то всі члени данної послідовності розташовані між і, тобто обмежена.
Доведемо властивість 2. Нехай , а обмежена, тобто . Для доведення того, що, необхідно взятидовільне й знайти номер, починаючиз якого . Отже, нехай довільне; розглянемо число . Через те що., то для цього. Тоді маємо:
,
тобто., починаючи з маємо, отже.
Приклади використання.
а) , тому що, а еталонна н.м.
б) , тому щой, а обмежена.
в) Оскільки для, то. Отже.
Зауваження. Частка двох н.м. може бути яким завгодно.
Задачі (для самостійного розв‘язування).
1. Нехай . Чи витікає звідси, щоабо?
2. Чи може серед членів н.м. послідовності бути нескінченно багато однакових членів? Якщо так, то яких?
Лекція 3
§5 Границя послідовності
I Три означення
Визначення 1. Число називають границею послідовностій пишуть, якщо послідовністьє нескінченно мала.
Використовуючи означення 1 попереднього параграфа, можна дати ще й таке означення границі.
Означення 2 (мова «»). Число називають границею послі-довності , якщо
.
Остання нерівність із модулем рівносильна подвійній нерівності або. Інакше кажучи,.Одержуємо ще одне означення границі.
Означення 3 (мова «околів»). Число називають границею послідовності, якщо кожен (як завгодно малий)-окол числа містить всі члени послідовності, починаючи з деякого номера, інакше кажучи, поза таким околом знаходиться лише скінчена кількість членів послідовності .
Зауваження.
1. З означень маємо: й, якщо.
2. Якщо для послідовності існує границя (узазначеному вище сенсі), то послідовность називається збіжною. У противному випадку послідовність називається розбіжною. Прикладами розбіжних послідовностей можуть слугувати: .
3. Означенню 1 можна дати іншу форму, більш зручну в деяких
випадках:
, де при.
Така форма дозволяє знайти границю такої, наприклад, послідовності:
.
4. (якщо існує) не залежить від будь-якої скінченної множини членів послідовності.
II Властивості збіжних послідовностей і їхніх границь.
1 Якщо послідовність збігається, то вона обмежена (ця властивість
доводиться таким же чином, як аналогічна властивість н.м.)
2. Нехай . Тоді:
а) ;
б) ;
в) .
3.
4. Якщо , то всі члени послідовності, починаючиз деякого номера, також додатні і, більш того, ці члени відмежовані від нуля: .
Для доведення досить в означенні 3 покласти . Очевидно, щоподібна властивість справедливо й для .
5. Якщо й, то обмежена.