Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
70
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
2.19 Mб
Скачать

§13. Класифікація точок розриву

I Означення

Точка x0 називається точкою розриву функції f(x),якщо ця функція не є неперервною в точці x0.

Означення неперервності, тобто рівність ,має на увазі такі три умови:

1) x0 D(y);

2) границяіснує і є скінченою;

3) .

При порушенні хоча б однієї із цих умов точка x0 і буде точкою розриву. До точок розриву відносять і ті точки, що не належать області визначення функції, в околі (хоча б однобічному) яких функція визначена. Прикладом служить точка x0 =0 для функцій іy=lnx.

II Точка усуваного розриву

Точка x0 називається точкою усуваного розриву функції y=f(x), якщо існує й скінчений, алеf(x0)≠b або .

Наприклад, функція

має в нулі усуваний розрив, тому що , аf(0)=0≠1. Ще один приклад дає функція , що не визначена в нулі, але границяіснує й скінчена.

III Точка розриву 1го роду

Точка x0 називається точкою розриву 1го роду функції f(x), якщо в цій точці функція має скінчені, але не рівні один одному однобічні границі:

f(x0+0)≠ f(x0 0).

Сама точка x0 при цьому може, як належати, так і не належати області визначення D(y).

Різниця f(x0+0) – f(x0 0) називається стрибком функції в точці x0.

Приклади.

1) f(x)=signx: f(0+0)=1, f(00)= –1.

2) f(x)=[x]: для будь-якої цілої точки f(k+0)=k, f(k–0)=k–1.

3) f(x)=:f .

4) f(x)=(самостійно).

IV Точка розриву 2го роду

Точка x0 називається точкою розриву 2го роду функції y=f(x), якщо в цій точці, хоча б одна з однобічних границь функції дорівнює  або не існує.

Приклади. 5) Для f(x)=у прикладі 4 §9 отримано: f(0+0)=+.

6) f(x)= у нулі не має границі, тому що для послідовності значень аргументу , що збігається до нуля, відповідна послідовність значень функціїне маєграниці.

7) Див. приклад 2 §9.

Зауваження 1. При дослідженні функції на неперервність необхідно розрізняти елементарні й неелементарні функції. Наприклад, – елементарна, отже, неперервна всюди наD(y), а точки , що не належатьD(y), – це точки розриву. Їхній тип установлюється шляхом обчислення однобічних границь. Функція ж

не є, загалом кажучи, елементарною, тому може мати розриви в будь-якій точці. Але кожен із трьох виразів, що визначають функцію, є елементарним, і в наслідок цього, неперервним. Ця функція може мати розриви тільки в точках, у яких переходить із одного виразу на іншій. Отже, точки можливого розриву

Зауваження 2. Монотонна обмежена функція може мати розриви тільки 1го роду (наслідок теореми 12 §9).

§14. Основні властивості неперервних функцій

1. Стійкість знака. Якщо функція f(x) неперервна в точці x0 і f(x0)≠0, то в деякому околі точки x0 функція f(x) зберігає знак.

2. Локальна обмеженість. Якщо функція f(x) неперервна в точці x0, то вона обмежена в деякому околі точки x0.

3. Обмеженість на проміжку (1а теорема Вейерштрасса). Якщо функція f(x) неперервна на замкнутому проміжку , то вона обмежена на цьому проміжку.

4. Досягнення найбільшого й найменшого значень (2а теорема Вейерштрасса). Якщо функція f(x) неперервна на замкнутому проміжку , то вона досягає своїх найбільшого й найменшого значень, тобто,:.

5. Проходження через нуль (1а теорема Больцано-Коші). Нехай функція f(x) неперервна на проміжку й на його кінцях має значення різних знаків. Тоді. Якщо жf(x) ще й строго монотонна, то така точка єдина.

Приклад використання цієї властивості: довести, що рівняння має корінь на інтервалі (0,1).Розглянемо функцію . Вона неперервна всюди (як елементарна) і, а– значення різних знаків. Виходить,. Це числоc і є корінь рівняння .

На цій властивості заснований метод інтервалів розв‘язування нерівностей: неперервна функція між своїми нулями зберігає знак.

6. Проходження через проміжні значення (2а теорема Больцано-Коші). Нехай функція f(x) неперервна на проміжку , причому. Тоді.

Інакше кажучи, неперервна функція, переходячи від одного значення до іншого, приймає й всі проміжні значення.

7. Існування оберненої функції. Неперервна строго монотонна функція має обернену також неперервну строго монотонну з тим же напрямком монотонності.