II Елементарні функції

Означення. Елементарною називають функцію, що може бути задана явно однією формулою, що містить скінчене число арифметичних операцій і суперпозицій, застосованих до основних елементарних функцій.

Слід зазначити, що деякі функції, задані декількома формулами (тобто, загалом кажучи, неелементарні), іноді вдається записати однією формулою. Прикладом служить функція y = |x|. За означенням

У той же час маємо: . Таким чином, функція y = |x|  елемен-тарна. Її графік:

I II Приклади неелементарних функцій

1)

(читається «у дорівнює сігнум х»).

2 ) y = [x], де [x]  ціла частина числа x

(читається «y дорівнює антье x»).

Ця функція неелементарна, тому що задається не формулою, а словесно:

[x]  найбільше ціле, що не перевищує x.

Відзначимо одну властивість: .

3. y = {x}, де {x}дробова частина числа x, тобто {x} = x  [x].

Лекція 2

§3. Послідовності: основні поняття, приклади

I Означення

Нехай кожному натуральному числу n за деяким правилом поставлене у відповідність певне число x_n: 1  x₁, 2  x₂, …, n  x_n, … Нескінченна сукупність цих чисел x₁, x₂, …, x_n, … називається числовою послідовністю, самі числа називаються членами послідовності, x_n  загальний член послі- довності. Короткий запис: {x_n}  «послідовність із загальним членом x_n».

Інакше кажучи, послідовність – це функція натурального аргументу: х_п=f(n).

Послідовність можна задавати:

1) аналітично, наприклад, ;

2) словесно, наприклад, 2, 3, 5, 7, 11…послідовність простих чисел;

3)рекурентним способом, наприклад, .

При цьому способі задають перший або кілька перших членів і формулу, що дозволяє визначити будь-який член послідовності по відомим попереднім членах.

II Елементи поводження й операції

Як і для довільної функції, для послідовності можна ввести поняття монотонності й обмеженості.

1) Послідовність {x_n} називається зростаючою (неспадною), якщо для будь-якого n. Якщо ж для будь-якого n маємо нерівність , то послідовність називається спадною (незростаючою).

2) Послідовність {x_n} називають обмеженою зверху, якщо , і обмеженою знизу, якщо . Послідовність називають обмеженою, якщо вона обмежена зверху й знизу. Можна дати й інше визначення обмеженості: .

Члени послідовності зручно зображувати точками на числовій осі. Тоді обмеженість означає, що всі члени послідовності належать деякому відрізку , а зростання означає, що кожний наступний член послідовності розташован праворуч від попереднього.

Над послідовностями можна здійснювати арифметичні операції. Наприклад, сума послідовностей {x_n} і {y_n}  це послідовність {z_n} така, що . Аналогічно визначаються різниця, добуток і частка. Корисно вміти представляти дану послідовність як суму або добуток двох інших послідовностей. Наприклад, є

добуток і .

III Приклади

1)  стаціонарна послідовність.

2)  обмежена, немонотонна.

3)  обмежена знизу, немонотонна.

4)  обмежена, зростаюча.

5)  це послідовність із загальним членом