II Дві еталонні н.В.

1.  нескінченно велика. Приклади:

2.  нескінченно велика: .

Між н.в. і н.м. послідовностями існує природний зв'язок, установлю-ваний наступною теоремою.

Теорема. Для того, щоб послідовність була нескінченно великою, необхідно й достатньо, щоб послідовність була нескінченно малою.

Доведемо, наприклад, необхідність. Нехай  н.в. Візьмемо довільне й покладемо . Існує номер , починаючи з якого . Тоді . Отже, . Це означає, що .

III Властивості н.В. Послідовностей

1. Нехай  н.в. Тоді:

а)  необмежена;

б) і  нескінченно великі;

в)  нескінченно велика;

г) якщо , те  нескінченно велика;

д) якщо , те  нескінченно велика;

2. Добуток нескінченно великих послідовностей є нескінченно велика.

Зауваження 1. Сума, різниця й частка нескінченно великих може бути якою завгодно.

Приклад. Будь-який многочлен від є н.в. Покажемо це на конкрет-ному прикладі:

.

Тому що  еталонна н.в., а , то  н.в.

Зауваження 2. Запишемо ряд н.в., відношення яких є н.м.:

.

Запис означає, що . Доведемо, наприклад, що . Позначимо й . Тоді для

, тому що . Отже, і .

Доведення того, що

і

проведемо пізніше, використовуючи т.зв. правило Бернуллі-Лопіталя.

Лекція 4

§7. Теореми про границі послідовностей

Теорема 1. .

Теорема 2 ( арифметичні операції з границями). Нехай послідовності- й  збіжні. Тоді збіжними будуть і такі послідовності: якщо тільки . При цьому:

1) ;

2) (тут  символ будь-якої арифметичної операції).

Обмежимося доведенням збіжності частки. Нехай , де й . Перетворимо частку в такий спосіб:

В отриманому виразі , як лінійна комбінація нескінченно малих, а  обмежена, тому що . Отже, . Це й доводить: .

Теорема 3 (граничний перехід у нерівностях). Нехай послідовності й  збіжні. Тоді, якщо (або ), то й . Зокрема:

а) якщо , то ;

б) якщо , то .

Теорема 4 (достатня умова збіжності). Якщо й для всіх справедлива нерівність , то .

Для доведення скористаємося означенням границі мовою околів. Розглянемо довільний -окіл числа . Позначимо його . Тому що , а тому що . Тоді з умови маємо: . Отже, для довільного -околу ми знайшли номер , починаючи з якого члени належать цьому околу. Це й означає, що .

Приклад. Розглянемо послідовність із загальним членом .

Щоб оцінити зверху, замінимо кожний доданок найбільшим (це перший доданок), а щоб оцінити знизу, замінимо доданки найменшим (це останій). Одержимо

або .

Обидва підкореневи вирази мають вигляд , тому, збігаються

до 1. Отже,

.

Звідси випливає, що .

Зауваження 1. При розв‘язуванні приклада була використана одна властивість елементарних функцій, що випливає з їхньої неперервності: якщо члени і належать області визначення елементарної функції , то знак границі можна вносити під знак функції

.

Зауваження 2. Звернемо увагу на таке. Загальний член являє собою суму доданків, кожен з яких є нескінченно малим. Однак, тут не можна сказати, що сума н.м. є н.м., тому що кількість доданків необмежено зростає.