III Приклади обчислення границь

1.

, тому що , а еталонна н.м.

2.  це сума перших членів геометричної прогресії. З елементарної математики відома формула для цієї суми:

.

Якщо , той. Значить. Якщо, томає вигляд: 1, 0, 1, 0, … і границі не має. Інші випадки значеньрозглянемо пізніше.

Задача (для самостійного розв‘язування). Нехай . Знайти (якщо існують) границі наступних послідовностей: а); б); в); г).

§6. Нескінченно великі послідовності і їхні властивості

I Два означення

Означення 1 (мова «»). Послідовністьназивають нескінченновеликою (н.в.) і пишуть , якщо

.

Іншими словами, стає йзалишається більше кожного наперед заданого як завгодно великого числа.

Розкриваючи нерівність із модулем, одержимо геометричну ілюстрацію цього поняття.

Означення 2 (мова «околів»). Послідовність називаєтьсян.в., якщо поза кожного (як завгодно великого) -околу нулязнаходяться всі члени послідовності, починаючи з деякого номера ( що залежить від). Інакше кажучи, усередині такого околуміститься лише скінчена кількість членів .

Зауваження. Якщо члени н.в. послідовності задовольняють умові, то можна писати.

Про таких н.в. говорять, що вони певного знака.

II Дві еталонні н.В.

1.  нескінченно велика. Приклади:

2.  нескінченно велика: .

Між н.в. і н.м. послідовностями існує природний зв'язок, установлю-ваний наступною теоремою.

Теорема. Для того, щоб послідовність була нескінченновеликою, необхідно й достатньо, щоб послідовність була нескінченно малою.

Доведемо, наприклад, необхідність. Нехай  н.в. Візьмемо довільне й покладемо. Існує номер, починаючиз якого . Тоді. Отже,. Це означає, що.

III Властивості н.В. Послідовностей

1. Нехай  н.в. Тоді:

а)  необмежена;

б) і нескінченно великі;

в)  нескінченно велика;

г) якщо , те нескінченно велика;

д) якщо , те нескінченно велика;

2. Добуток нескінченно великих послідовностей є нескінченно велика.

Зауваження 1. Сума, різниця й частка нескінченно великих може бути якою завгодно.

Приклад. Будь-який многочлен від єн.в. Покажемо це на конкрет-ному прикладі:

.

Тому що  еталонна н.в., а , то н.в.

Зауваження 2. Запишемо ряд н.в., відношення яких є н.м.:

.

Запис означає, що. Доведемо, наприклад, що. Позначимой. Тоді для

, тому що . Отже, і.

Доведення того, що

і

проведемо пізніше, використовуючи т.зв. правило Бернуллі-Лопіталя.

Лекція 4

§7. Теореми про границі послідовностей

Теорема 1. .

Теорема 2 ( арифметичні операції з границями). Нехай послідовності- й збіжні. Тоді збіжними будуть і такі послідовності: якщо тільки. При цьому:

1) ;

2) (тут символ будь-якої арифметичної операції).

Обмежимося доведенням збіжності частки. Нехай , дей. Перетворимо частку в такий спосіб:

В отриманому виразі , як лінійна комбінація нескінченномалих, а  обмежена, тому що . Отже,. Це й доводить:.

Теорема 3 (граничний перехід у нерівностях). Нехай послідовності й збіжні. Тоді, якщо (або), то й. Зокрема:

а) якщо , то;

б) якщо , то.

Теорема 4 (достатня умова збіжності). Якщо й длявсіх справедлива нерівність, то.

Для доведення скористаємося означенням границі мовою околів. Розглянемо довільний -окіл числа. Позначимойого . Тому що, а тому що. Тоді з умовимаємо:. Отже, длядовільного -околу мизнайшли номер , починаючиз якого члени належать цьому околу. Це й означає, що.

Приклад. Розглянемо послідовність із загальним членом .

Щоб оцінити зверху, замінимокожний доданок найбільшим (це перший доданок), а щоб оцінити знизу, замінимододанки найменшим (це останій). Одержимо

або .

Обидва підкореневи вирази мають вигляд , тому, збігаються

до 1. Отже,

.

Звідси випливає, що .

Зауваження 1. При розв‘язуванні приклада була використана одна властивість елементарних функцій, що випливає з їхньої неперервності: якщо члени іналежатьобласті визначення елементарної функції , то знак границі можна вносити під знак функції

.

Зауваження 2. Звернемо увагу на таке. Загальний член являє собою сумудоданків, кожен з якихє нескінченно малим. Однак, тут не можна сказати, що сума н.м. є н.м., тому що кількість доданків необмежено зростає.