VI Елементи поводження функції

До елементів поводження прийнято відносити такі властивості функцій, як парність-непарність, періодичність, монотонність і обмеженість.

1) Нехай область визначення функції y=f(x) симетрична відносно нуля. Тоді: а) f(x) називається парної, якщо f(x)=f(x); б) f(x) називається непарною, якщо (зазначені співвідношення повинні виконуватися для будь-якогоx з D(y)).

Приклади парних функцій: y=cosx, y=x²+1, y=xsinx. Приклади непарних функцій: y=sinx, y=x³, y=x²tgx.

Графіки парних і непарних функцій мають корисну властивість –симетрію: графік парної функції симетричний відносно осі ординат, а графік непарної симетричний відносно початку координат.

Будь-яку функцію загального виду (тобто що не є ні парною, ні непарною) можна представити у вигляді суми парної й непарної функції:

, де  парна, а  непарна.

2) Нехай область визначення D(y) функції y=f(x) така, що із усяким x з D(y), точки x+T і xT також належать D(y). Функція y=f(x) називається періодичної, якщо для кожного виконується рівність. При цьому числоназиваєтьсяперіодом.

Прикладами періодичних функцій служать тригонометричні функції, а також y={x} – дробова частина числа x.

3. Якщо для будь-яких двох значень аргументу x₁,x₂, що належать проміжку |a,b|, з нерівності x₁>x₂ маємо:

а) , тоf(x) називається зростаючою на |a,b|;

б) , тоf(x) називається спадною на |a,b|;

в) , тоf(x) називається неспадною на |a,b|;

г) , тоf(x) називається незростаючою на |a,b|.

Функції всіх цих типів прийнято називати монотонними [у випадках а) і б) уточнюють – «строго монотонні»]. Іноді зручно й неспадну (незростаючу) функцію називати зростаючою (спадною) – але в широкому змісті.

Приклади. а) y=x² зростає на (0, +) і спадає на (, 0); б) y=x³ усюди на R зростає; б) y=arcсos x спадає на D(y)=[1,1].

4) Якщо для кожного із проміжку|a,b| існує число таке, що:

а) , тоf(x) називається обмеженої зверху на |a,b|;

б) , тоf(x) називається обмеженої знизу на |a,b|;

в) M>0, , тоf(x) називається обмеженої на |a,b|.

Приклади: а) y=arctg x – обмежена; б) y=2^x – обмежена знизу.

VII Обернена функція

Функцію y=f(x) називають оборотною на проміжку |a,b|, якщо будь-яке своє значення вона приймає не більш ніж в одній точці цього проміжку; іншими словами, якщо різним значенням аргументу відповідають різні значення функції.

Нехай оборотна функція y=f(x) задана на проміжку |a,b| і нехай E(y)=|A,B|. Кожному y|A,B| поставимо у відповідність те єдине значення x[a,b], для якого f(x)=y. Таким чином на |A,B| буде визначена функція , що називаєтьсяоберненою стосовно функції y=f(x).

Відзначимо, що якщо  зворотна для y=f(x), то й функція y=f(x) є зворотною для . Тому, цідві функції часто називають взаємно оберненими. Такі функції мають очевидні властивості:

.

Графіки взаємно обернених функцій збігаються. Можна, однак, зажадати, щоб і аргумент оберненої функції позначався літерою x, тобто замість розглядати функцію.Графіки такої пари функцій y=f (x) і симетричні відноснопрямої y=x.

Можна довести, що всяка строго монотонна функція має обернену, причому з тим же напрямком монотонності.

Алгоритм знаходження оберненої функції для функції y=f(x) наступний:

1) переконатися, що y=f(x) оборотна (наприклад, монотонна);

2) розв‘язати рівняння y=f(x) відносно x;

3) в отриманій рівності поміняти місцями x і y.

Приклад. Знайдемо обернену для функції (т.зв. синусгіперболічний).

а) Перевіримо монотонність. Нехай x₁>x₂. Тоді Функціяy=e^x –зростаюча, тому різниця в першій дужці позитивна, а y=e^x – спадна, тому друга різниця – негативна. Виходить, що , тобто, звідки маємо:y= shx – зростаюча функція, отже, оборотна.

б) Розв‘яжемо рівняння y=shx відносно x:

–не влаштовує, тому що .

Отже, , тобто.

в) Помінявши місцями x і y, отримаємо шукану обернену функцію:

.