Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
79
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
2.19 Mб
Скачать

42

РОЗДІЛ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

Тема ВВЕДЕННЯ В МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

Лекція 1

§1. Функції однієї змінної: основні поняття

I Означення

Розглянемо дві змінні величини x і y. Якщо за деяким правилом або законом кожному значенню змінної величини x поставлено у відповідність одне певне значення змінної величини y, то говорять, що y є функція від x і пишуть: y=f(x) або y=y(x).

Використовувана термінологія: x – незалежна змінна, y – залежна змінна; x – аргумент, y – функція.

У позначенні y=f(x) буква f є характеристикою функції й символізує правило, про яке говориться у визначенні. Якщо розглядаються різні функції, то їхні характеристики позначаються різними буквами. І взагалі, будь-який запис виду u=g(v) означає, що змінна u є деяка функція змінної v.

II Способи завдання функції

Задати функцію означає задати правило (закон) відповідності. Найбільш уживаним є завдання цього правила за допомогою однієї або декількох формул, що містять вказівку на ті операції або дії над постійними числами й над значеннями аргументу x, які необхідно зробити, щоб одержати відповідне значення функції y. При цьому розрізняють три варіанти цього т.зв. аналітичного способу завдання:

  1. явний, наприклад, або

  2. неявний, наприклад, (змінніx і y зв'язані деяким рівнянням виду F(x, y)=0);

  3. параметричний, наприклад, (змінніx і y задані як явні функції допоміжної змінної – параметра t).

На практиці часто використовують табличний спосіб завдання функції, коли задаються таблиця окремих значень аргументу й відповідних їм значень функції. Існують методи що дозволяють обчислити (приблизно!) значення функції, що відповідають проміжним значенням аргументу, а також підібрати формулу, що задає функцію з певною точністю.

Досить розповсюдженим, особливо в експериментальних науках, є графічний спосіб завдання функції, при якому відповідність між аргументом і функцією задається за допомогою деякої лінії в системі координат xOy.

Використовують у математиці й словесний спосіб завдання, коли функція описується правилом її складання. Така, наприклад, функція y=[x]: “єціла частина x”, тобто найбільше ціле, що не перевершує числа x. Поряд із цілою частиною, розглядають і функцію дробова частина числа: {x}=x[x]. Приклади: [2,8]=2, [–3,4]= – 4, [2]=2.

III Область визначення й область значення функції

Множина D(y) тих значень аргументу x, для якого визначені відповідні значення функції y=f(x), називають областю визначення функції. При знаходженні області визначення функції, заданої аналітично, необхідно мати на увазі наступне:

1) якщо , то;

2) якщо , то;

3) якщо , то;

4) якщо ,.

Множина E(y) тих значень залежної змінної, які вона приймає, коли залежна змінна пробігаєD(y), називають областю значень функції.

Для основних елементарних функцій (див. нижче) області значень відомі. У загальному ж випадку для знаходження E(y) потрібне дослідження функції за допомогою похідних.

IV Графік функції

У математичному аналізі функції графічно не задають, але до графічної ілюстрації звертаються завжди.

Графіком функції y=f(x) називають множину точок (координатної пло-

щини xOy) виду

.

У простих випадках графік функції y=f(x) – це деяка крива, що володіє такою властивістю: будь-яка пряма, паралельна осі ординат, перетинає цю криву не більш ніж в одній точці. При цьому запис y=f(x) називають рівнянням цієї кривої.

Існують функції, графіки яких зобразити неможливо. Прикладом може служити функція Діріхле:

V Дії над функціями

Функція – це правило відповідності. Що ж тоді означає, наприклад, сума двох правил f і g? Це нове правило (f+g), що діє в такий спосіб: (f+g)(x)=f(x)+g(x). Аналогічно визначаються й інші арифметичні операції над функціями. Інакше кажучи, всі арифметичні дії над функціями виконуються поточечно.

Крім арифметичних операцій, є ще операція суперпозиції (накладення) функцій, що полягає в тому, що замість аргументу даної функції підставляється деяка функція від іншого аргументу. Наприклад, суперпозиція функцій ідає функцію.

У загальному випадку, якщо y=F(z), а z=(x), то змінна y, за посередництвом змінної z, сама є функцією від x: y=F((x)). Результат суперпозиції функцій називається «функція від функції» або «складна функція».

Варто підкреслити, що характеристика функції, як складної, зв'язана не із природою залежності у від х, а лише зі способом завдання цієї залежності. Наприклад, нехай , а,. Тоді. Тут основна елементарна функціяsinx виявилася заданою у вигляді суперпозиції двох функцій.

Відзначимо, що в математичному аналізі розглядаються й інші операції над функціями, як то: граничний перехід, диференціювання, згортка й т.п. У таких операціях для обчислення значення функції-результату в одній точці мало знати значення функцій-операндів у цій точці. Наприклад, щоб обчислити в точціx0, необхідно знати f(x) у деякому околі цієї точки.