
- •II Способи завдання функції
- •III Область визначення й область значення функції
- •IV Графік функції
- •V Дії над функціями
- •VI Елементи поводження функції
- •VII Обернена функція
- •§2. Елементарні функції
- •I Основні елементарні функції
- •II Елементарні функції
- •III Приклади неелементарних функцій
- •§3. Послідовності: основні поняття, приклади
- •I Означення
- •II Елементи поводження й операції
- •III Приклади
- •§4. Нескінченно малі послідовності і їхні властивості
- •I Два означення
- •II Дві еталонні н.М.
- •III Основні властивості
- •§5 Границя послідовності
- •I Три означення
- •II Властивості збіжних послідовностей і їхніх границь.
- •III Приклади обчислення границь
- •§6. Нескінченно великі послідовності і їхні властивості
- •I Два означення
- •II Дві еталонні н.В.
- •III Властивості н.В. Послідовностей
- •§7. Теореми про границі послідовностей
- •§8. Монотонні послідовності. Число
- •I Про границю монотонної послідовності
- •II Число е
- •§9. Границя функції
- •I Загальне означення
- •II Окремі випадки. Важливі поняття
- •III Однобічні границі
- •IV Теореми про границі функцій
- •§ 10. Визначні границі
- •I Перша визначна границя
- •II Друга визначна границя
- •§ 11. Еквівалентні н.М. І н.В. Функції
- •I Порівняння н.М. І н.Б. Функцій
- •II Еквівалентні функції: два означення
- •III Таблиця еквівалентностей
- •IV Використання еквівалентностей для обчислення границь
- •V Асимптотичні формули
- •§12. Поняття неперервності функції
- •§13. Класифікація точок розриву
- •I Означення
- •II Точка усуваного розриву
- •III Точка розриву 1го роду
- •IV Точка розриву 2го роду
- •§14. Основні властивості неперервних функцій
РОЗДІЛ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
Тема ВВЕДЕННЯ В МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ
Лекція 1
§1. Функції однієї змінної: основні поняття
I Означення
Розглянемо дві змінні величини x і y. Якщо за деяким правилом або законом кожному значенню змінної величини x поставлено у відповідність одне певне значення змінної величини y, то говорять, що y є функція від x і пишуть: y=f(x) або y=y(x).
Використовувана термінологія: x – незалежна змінна, y – залежна змінна; x – аргумент, y – функція.
У позначенні y=f(x) буква f є характеристикою функції й символізує правило, про яке говориться у визначенні. Якщо розглядаються різні функції, то їхні характеристики позначаються різними буквами. І взагалі, будь-який запис виду u=g(v) означає, що змінна u є деяка функція змінної v.
II Способи завдання функції
Задати функцію означає задати правило (закон) відповідності. Найбільш уживаним є завдання цього правила за допомогою однієї або декількох формул, що містять вказівку на ті операції або дії над постійними числами й над значеннями аргументу x, які необхідно зробити, щоб одержати відповідне значення функції y. При цьому розрізняють три варіанти цього т.зв. аналітичного способу завдання:
явний, наприклад,
або
неявний, наприклад,
(змінніx і y зв'язані деяким рівнянням виду F(x, y)=0);
параметричний, наприклад,
(змінніx і y задані як явні функції допоміжної змінної – параметра t).
На практиці часто використовують табличний спосіб завдання функції, коли задаються таблиця окремих значень аргументу й відповідних їм значень функції. Існують методи що дозволяють обчислити (приблизно!) значення функції, що відповідають проміжним значенням аргументу, а також підібрати формулу, що задає функцію з певною точністю.
Досить розповсюдженим, особливо в експериментальних науках, є графічний спосіб завдання функції, при якому відповідність між аргументом і функцією задається за допомогою деякої лінії в системі координат xOy.
Використовують
у математиці й словесний
спосіб завдання, коли функція описується
правилом її складання. Така, наприклад,
функція y=[x]:
“єціла
частина
x”,
тобто найбільше ціле, що не перевершує
числа x.
Поряд із цілою частиною, розглядають і
функцію дробова частина числа: {x}=x[x].
Приклади: [2,8]=2, [–3,4]= – 4, [2]=2.
III Область визначення й область значення функції
Множина D(y) тих значень аргументу x, для якого визначені відповідні значення функції y=f(x), називають областю визначення функції. При знаходженні області визначення функції, заданої аналітично, необхідно мати на увазі наступне:
1) якщо
,
то
;
2) якщо
,
то
;
3) якщо
,
то
;
4) якщо
,
.
Множина
E(y)
тих значень залежної змінної,
які вона приймає, коли залежна змінна
пробігаєD(y),
називають областю
значень
функції.
Для основних елементарних функцій (див. нижче) області значень відомі. У загальному ж випадку для знаходження E(y) потрібне дослідження функції за допомогою похідних.
IV Графік функції
У математичному аналізі функції графічно не задають, але до графічної ілюстрації звертаються завжди.
Графіком функції y=f(x) називають множину точок (координатної пло-
щини xOy) виду
.
У простих випадках графік функції y=f(x) – це деяка крива, що володіє такою властивістю: будь-яка пряма, паралельна осі ординат, перетинає цю криву не більш ніж в одній точці. При цьому запис y=f(x) називають рівнянням цієї кривої.
Існують функції, графіки яких зобразити неможливо. Прикладом може служити функція Діріхле:
V Дії над функціями
Функція – це правило відповідності. Що ж тоді означає, наприклад, сума двох правил f і g? Це нове правило (f+g), що діє в такий спосіб: (f+g)(x)=f(x)+g(x). Аналогічно визначаються й інші арифметичні операції над функціями. Інакше кажучи, всі арифметичні дії над функціями виконуються поточечно.
Крім
арифметичних операцій, є ще операція
суперпозиції
(накладення) функцій, що полягає в тому,
що замість аргументу даної функції
підставляється деяка функція від іншого
аргументу. Наприклад, суперпозиція
функцій
і
дає функцію
.
У загальному випадку, якщо y=F(z), а z=(x), то змінна y, за посередництвом змінної z, сама є функцією від x: y=F((x)). Результат суперпозиції функцій називається «функція від функції» або «складна функція».
Варто
підкреслити, що характеристика функції,
як складної, зв'язана не із природою
залежності у
від х,
а лише зі способом завдання цієї
залежності. Наприклад, нехай
,
а
,
.
Тоді
.
Тут основна елементарна функціяsinx
виявилася заданою у вигляді суперпозиції
двох функцій.
Відзначимо,
що в математичному аналізі розглядаються
й інші операції над функціями, як то:
граничний перехід, диференціювання,
згортка й т.п. У таких операціях для
обчислення значення функції-результату
в одній точці мало знати значення
функцій-операндів у цій точці. Наприклад,
щоб обчислити
в точціx0,
необхідно знати f(x)
у деякому околі цієї точки.