Розміщення з повтореннями

(-перестановки з необмеженими повтореннями)

Нехай –множина типів елементів, – "представник"першого типу елементів,–другого типу, ..., –-того типу елементів. Елементівкожного типу єв необмеженій кількості, елементиодного типу нерозрізнені міжсобою.

Розміщення із повтореннями з по – упорядкована послідовність довжиною така, що:

– кожен елемент послідовностіодного із типів;

– не усі елементи послідовності обов'язково різні.

Наприклад.

Згенерувати усі розміщенняіз повтореннями елементів зпоумножині.Розміщення розташовані у порядку зростання натурального числа поставленого у відповідність кожному розміщенню.

Теорема 2

Доведення.

Розглянемо наступну схему вибору упорядкованої послідовності довжиною у елементів: нехай маємо нескінченну кількість елементів кожного ізтипів (наприклад, кулі із наклеєними номерами) тарізних, перенумерованих, місць або комірок, які треба заповнити цими елементами. Вибираємо елемент на перше місце, є варіантів вибору. На друге місце після цього і незалежно від того, елемент якого типу вже був обраний, є також претендентів. І так далі, відповідно, на місце є, як і раніше,претендентів. За правиломдобуткумаємо:

Зауваження:у цьому випадку може бути.

Наприклад. Скільки різнихнаборів сигналів можуть датичотири світлофора одночасно?

Розв’язання.

Кожен із світлофорів незалежно від інших може давати 3 варіанти сигналів: зелений, жовтий та червоний, тобто число типів елементів, що повторюються, дорівнює трійці. Довжина упорядкованої послідовності – це кількість світлофорів. Світлофори різні (розташовані у різних місцях) тому має значення, на якому світлофорі горить який сигнал, тобто послідовність повинна бути упорядкована. Тоді маємо: .

Сполучення з повтореннями

Нехай –множина типів елементів, – "представник"першого типу елементів,–"представник"другого типу, ..., –-того типу елементів.

Елементівкожного типу єв необмеженій кількості, елементиодного типу нерозрізнені міжсобою.

Сполучення із повтореннями з по – неупорядкована послідовність довжиною така, що:

– кожен елемент послідовності одного з типів;

– не всі елементи послідовності обов'язково різні.

Сполученняіз повтореннями відрізняютьсяодин від одного складом елементів, що входятьдосполучення, порядок елементівне має значення. Має значення, скільки елементівкожного типу увійшлодосполучення.

Наприклад.

Згенерувати всі сполучення із повтореннями елементів із поу множині . Сполучення розташовані у порядку зростання натурального числа поставленого у відповідність кожному сполученню.

Теорема 3

Доведення.

Розглянемо певнесполучення. Нехай у нього входять об'єктпершого типу, об'єктівдругого типу, об'єктів-го типу, причому

Деякі можуть бути рівними нулю.Кожному сполученню можна поставити увзаємно-однозначну відповідність наступну схему:

.

Елементи, що становлятьсполучення, кодуютьсянулями, їх всього. Вертикальніриски відокремлюють елементиодноготипу від елементів іншоготипу. Якщо елементи будь-якоговиду немає, двіриски будутьстояти поспіль. Кількістьрисок дорівнює.Кожному сполученню із повтореннями відповідає схема і навпаки, кожна подібна схема відповідає деякому сполученню із повтореннями, тобто між ними існує взаємно-однозначна відповідність або бієкція. Тоді, кількість сполученьіз повтореннями з по дорівнюєчислу таких схем.

Підрахуємо кількість різнихтаких схем. Усьогов схемі об'єктів:риска та нулів.Число схем дорівнює кількості різних перестановок з елементів, серед яких однакових "|" та однакових "0". За теоремою про перестановки із повтореннями для множини елементів із специфікацією маємо, що число таких схем, а відповідно й число сполучень із повтореннями ізпоскладає: .

З другого боку, права частина цієї рівності може бути записана як кількість звичайних сполучень без повторень елементів із елементів по: , або із урахуванням властивості симетричність для сполучень: .

Таким чином доведено, що справедливі співвідношення:

.

Наприклад.

1. У кондитерській продають типи тістечок. Скількомаспособами одна людина може купити тістечок?

Розв’язання.

Оскільки тістечка купує одна людина, то не має значення у якому порядку вона їх вибирає, а враховується тільки склад купівлі, тобто скільки тістечок якого типу було вибрано. Кількість типів тістечок дорівнює , кількість тістечок, що куплено в свою чергу дорівнює. Вважається, що кожного типу тістечок мається стільки, скільки потрібно. Тоді, за теоремою про сполучення із повтореннями маємо:

2) У кондитерській продають4типи тістечок. Скількомаспособами 8 різнихлюдей можуть купитипоодному тістечку?

Розв’язання.

Для даної задачі, має значення не тільки склад, а й порядок здійснення купівлі, бо тістечка отримують різні люди. Перше куплене тістечко отримає перша людина, друге – друга, і так далі. Кількість типів тістечок дорівнює , кількість тістечок, що куплено в свою чергу дорівнює. Також вважається, що кожного типу тістечок мається стільки, скільки потрібно.Тому за теоремою про розміщення із повтореннями маємо:

3) Знайти кількість різних способів, якими можна виписатив один ряд 6 плюсівта4 мінуса?

Розв’язання.

Усього маємо десять символів, серед яких шість однакових плюсів та чотири однакові мінуси. Тому за теоремою про перестановки із повтореннями маємо:

.

З другого боку, маємо десять місць, на які потрібно розташувати описані символи. Спочатку вибираємо шість місць для розташування плюсів, це способів, а потім на ті місця, що осталися, а їх чотири. розміщуємо мінуси. Оскільки усі плюси та мінуси між собою не відрізняються, то маємо:

.

3. Знайтичисло способів виписатив один ряд 9 трійокта 6 п'ятіроктак, щоб ніякі дві п'ятіркине стояли поруч?

.

4. Скількомаспособами можна переставити буквив слові"каракулі", щоб ніякі дві голосніне стояли поруч?

Розв’язання.

.

5. 30 чоловік голосуютьпо п'ятьомкандидатам на пост голови наукового товариства.Скількома способами можуть розподілитися голоси, якщо враховується тільки кількість голосів поданих за кожного кандидата?

Скількомаспособами можуть розподілитисяголоси, якщо враховується тільки кількість голосів поданихза кожного кандидата іза кожного поданий хочаб 1 голос?

Розв’язання.

Перша задача є стандартна задача про сполучення із повтореннями, бо за постановкою задачі не має значення, хто за кого проголосував, а враховується тільки кількість голосів, поданих за кожного кандидата:

.

Друга задача може бути розв’язана двома способами. По-перше, відомо, що за кожного кандидата був поданий один голос, тобто п’ять чоловіків вже проголосували. Зосталося врахувати, як розподілилися голоси чоловік, що осталися. У такій постановці задача зводиться до стандартної задачі про сполучення із повтореннями, але вже длячоловік:

.

По-друге, задача може бути вирішена за допомогою схеми, що використовувалась при доведенні теореми про сполучення із повтореннями. Усі чоловік кодуємо нулями, а для того, щоб відділити, скільки чоловік проголосувало за якого кандидата, ставимо риски. Але тепер риска не може стояти до послідовності нулів (за першого кандидата ніхто не проголосував), після неї (за останнього кандидата ніхто не проголосував) та дві риски не можуть йти поспіль (за якогось кандидата не буде подано ні одного голосу). Тоді, щоб розставити риски існуємісць, по одному між кожними двома ізнулів. Всього треба поставити чотири риски, тому маємо: .

, .