Складний вибір об'єктів

Часто у комбінаторнихзадачах вибір об'єктів здійснюєтьсяв кількаетапів, на деяких працюєправило суми, на інших–правилодобутку. При складному виборі об'єктів важливо забезпечити повний і систематичний перебірусіх можливих випадків, причому жоденіз варіантівне повинен бути врахований кілька разів.

Наприклад.

Нехай є три прапори різних кольорів. На флагштоці піднімаєтьсясигнал, що складаєтьсяне менше, ніжіздвох прапорів. Скільки різних сигналів можна піднятина флагштоці, якщопорядок прапоріву сигналі враховується?

Розв’язання.

Сигнал можна скласти або із 2-х прапорів, або із 3-х. Позначимо через – кількість способів скласти сигнал із 2-х прапорів, а через – із 3-х відповідно. Одночасне виконанняцих двох дій неможливо. Тоді, загальнакількістьспособів скластисигнал за правилом суми дорівнює:. Розрахуємо . Кількість способів вибрати перший прапор для сигналу, що складається із 2 прапорів, дорівнює 3. Кількість способів вибрати другий прапор для сигналу, що складається із 2 прапорів, дорівнює 2, бо один з 3 прапорів вже був використаний. Треба підняти і перший, і другий прапори, але кількість способів вибрати другий прапор для сигналу не залежить від того, який конкретно прапор був обраний на першому етапі. Тоді, заправиломдобутку знаходимо:. Аналогічно, отримуємо, , тоді .

Тема 1 Основні комбінаторні з'єднання без повторень елементів

З'єднання – прості комбінаторні конфігурації, до яких відносять:

– перестановки,

– сполучення,

– розміщення.

Перестановки

Перестановкою із n елементів або n-перестановкою називають упорядковану послідовність (кортеж, вектор) елементів множини.

Дві перестановки вважаються різними, якщо вони відрізняються порядком розташування елементів в них.

Наприклад.

Нехай ємножина .Згенерувати усі перестановки елементів цієї множини. Перестановки: Перестановки згенеровані у порядку зростання натуральних чисел, поставлених у відповідність кожній з них.

Теорема 1

Примітка: визначимо 0! = 1.

Доведення.

Нехай є різних об'єктів (наприклад. куль з різними номерами) і їх необхідно розташувати нарізних місць (комірок з різними номерами).На перше місце (або у першу комірку) можна розмістити будь-який із наявних елементів. Після цього, на друге місце можна розмістити будь-якийіз елемента,що лишилися. Зауважимо, щочисло претендентівнадруге місцене залежить відтого, якийконкретно елемент був обранийнаперше місце. Далі на 3 місце – претендента і так далі. На останнє місце залишитьсяодин претендент. За правиломдобутку маємо:.

Наприклад.

1. Скільки різних перестановок можна згенерувати із елементів множини

Розв’язання.

Кількість усіх перестановок у множині, що має 3 різні елементи дорівнює: .

2. Скільки різних слів можна утворити, переставляючи буквив слові"домбра"?

Розв’язання.

Оскільки усі літери у слові "домбра" різні та нас цікавить тільки порядок розташування цих літер, то

3) Трійка дівчат водятьхоровод. Скількомаспособами вони можутьстатиуколо?

Розв’язання.

Якщо дівчата стояли б на місці (кожне місце мало б номер), то вийшло б способів стати в коло. Але так, як дівчата водять хоровод, то їх розташування відносно оточення неважливе, а важливо, як вони розташовані одна відносно іншої. Тобто існують перестановки,що переходять одна в іншу. Наприклад, якщо взяти усі перестановки із 3 цифр, то їх можна розбити на 2 групи, причому у кожній із цих груп перестановки не відрізняються:

Тоді, кількість різних перестановок дівчат у хороводі дорівнює: