Pobegailo

Из этоего равенства следует, что

для k {1, 2, 3}. Полученные равенства (3.40) определяют соответствие между специальными унитарными матрицами из группы SU (2) и собственно ортогональными матрицами из группы SO(3, R).

Опишем структуру собственно ортогональной матрицы R, используя параметры Кэли – Клейна. Выражения для элементов матрицы R могут быть найдены из равенств (3.40). Для того чтобы разрешить равенства (3.40) относительно элементов матрицы R, найдем преобразования спин матриц Паули посредством специальных унитарных матриц, представленных через параметры Кэли – Клейна. Используя равенства (3.35) и (3.36), эти преобразования могут быть записаны следующим образом:

U*σkU = (q0 I − q1iσ1 − q2iσ2 − q3iσ3 )σk (q0 I + q1iσ1 + q2iσ2 + q3iσ3 )

для k {1, 2, 3}. Вычислим эти выражения, используя равенства (3.33), получим

U σ1U = (q02 + q12 − q22 − q32 )σ1 + 2(q1q2 + q0q3 )σ2 + 2(q1q3 − q0q2 )σ3, U σ2U = 2(q1q2 − q0q3 )σ1 +(q02 − q12 + q22 − q32 )σ2 + 2(q2q3 +q0q1)σ3, U σ3U = 2(q1q3 + q0q2 )σ1 + 2(q2q3 −q0q1)σ2 +(q02 − q12 − q22 + q32 )σ3.

Сравнение полученных равенств с равенствами (3.40) показывает, что элементы ортогональной матрицы R определяются через параметры Кэли – Клейна следующим образом:

Учитывая равенство (3.34), диагональные элементы матрицы R могут быть упрощены следующим образом:

Таким образом, структура произвольной собственно ортогональной матрицы из группы SO(3, R) через параметры Кэли – Клейна задается выраже-

ниями (3.41) и (3.42). Используя эти выражения, определим отображение g : SU (2) → SO(3, R) .

80

Из этого определения видно, что

g(U ) = g(−U )

для любой матрицы U SU (2). Следовательно, любой поворот может

бытьпредставлен одной издвух специальных унитарных матриц U или –U. Теорема 1. Отображение g является гомоморфизмом из группы SU (2)

в группу SO(3, R), т. е. для произвольных матриц U,V SU (2) выполняется тождество

g(UV ) = g(V )g(U ).

Доказательство. Рассмотрим произвольные матрицы U и V из группы SU (2). Предположим, что

g(U ) = R, g(V ) = Q.

Теперь, используя равенства (3.40), найдем выражения для описания действий композиции матриц UV на спин матрицы Паули. Получим

(V U )σk (UV ) =V (r1kσ1 + r2kσ2 + r3kσ3 )V =

=r1kV σ1V + r2kV σ2V + r3kV σ3V =

=r1k (q11σ1 + q21σ2 + q31σ3 ) + r2k (q12σ1 + q22σ2 + q32σ3 ) +

+r3k (q13σ1 +q23σ2 +q33σ3 ) = (q11r1k + q12r2k + q13r3k )σ1 +

+(q21r1k +q22r2k + q23r3k )σ2 +(q31r1k + q32r2k + q33r3k )σ3

для k {1, 2, 3}. Из равенства следует, что

g(UV ) =

Таким образом, получили, что

g(UV ) = g(V )g(U ),

т. е. отображение g является гомоморфизмом из группы SU (2) в группу

SO(3, R).

Теорема доказана.

81

Пример 1. Рассмотрим параметры Кэли – Клейна

которые были получены в примере из раздела 3.9. Используя формулу (3.42), найдем собственно ортогональную матрицу R, которая определяется этими параметрами Кэли – Клейна. Получим

Рассмотрим обратную проблему, как получить параметры Кэли – Клейна из заданной матрицы R SO(3, R). Первый шаг к решению этой проблемы состоит в определении максимального числа

Такой выбор числа qmax обеспечивает более точное вычисление квад-

ратного корня из этого числа для нахождения значений параметров Кэли – Клейна. После этого параметры Кэли – Клейна могут быть определены следующим образом. Если

82

Если

Теперь определим отображение

h : SO(3, R) → SU (2),

используя приведенные выражения для вычисления параметров Кэли – Клейна. Из этого определения видно, что

h(R) = −h(R).

Это значит, что отображение h отображает любую матрицу из группы SO(3, R) в две матрицы из группы SU (2), связанные последним соотношением.

Теорема 2. Отображение h является гомоморфизмом из группы SO(3, R) в группу SU (2).

Доказательство. Эта теорема может быть доказана аналогично теореме 1.

Пример 2. Рассмотрим собственно ортогональную матрицу

Найдем из этой матрицы параметры Кэли – Клейна. Так как

qmax = 4q02 =1+ r11 + r22 + r33 = 2,

83

то получим

3.11. Представление поворотов единичными кватернионами

Рассмотрим такой произвольный кватернион

P = p0 + p,

который удовлетворяет условию

P = −P.

Из этого условия следует, что должно выполняться равенство p0 − p = −p0 − p,

которое в свою очередь эквивалентно равенству p0 = 0.

Следовательно, кватернион P имеет следующую структуру:

P = p1i + p2 j + p3k = p.

То есть кватернион P имеет только векторную часть. Такие кватернионы называются векторными кватернионами или просто векторами. Теперь возьмем произвольный единичный кватернион

векторного кватерниона P. Это равенство может быть переписано, используя векторные операции следующим образом:

P= QPQ = (q0 +q) p(q0 −q) =

=(q0 +q)( p q +q0 p − p ×q) =

=q0 ( p q) −q (q0 p − p ×q) +q0 (q0 p − p ×q) +( p q)q +q ×(q0 p − p ×q) =

=q02 p − q0 ( p ×q) +( p q)q + q0 (q × p) −q ×( p ×q) =

=q02 p + 2q0 (q × p) +( p q)q +( p ×q) ×q.

84

В результате получили следующее векторное выражение:

для преобразования, заданного формулой (3.43). Отсюда следует, что

кватернион P также является вектором, который будет обозначаться следующим образом:

p = P.

Кроме того, так как

N (P) = N(QPQ ) = N (Q)N(P)N(Q ) = N (P),

учитывая, что Q и Q являются единичными кватернионами, то преобразование, заданное формулой (3.43), сохраняет норму кватерниона и, следовательно, длину векторов. В результате можно сделать вывод, что формула (3.43) описывает некоторый поворот вектора в евклидовом век-

торном пространстве R3 или поворот точки в евклидовом аффинном пространстве E3, координаты которой задаются вектором p.

3.12. Гомоморфизм между группой SO(3, R) и группой единичных кватернионов

Перепишем формулу (3.44), используя матричную нотацию. Для этой цели введем следующие матрицы:

Используя эти обозначения и принимая во внимание, что q × p = Kp, ( p q)q = (qqT ) p = Mp,

формула (3.44) может быть преобразована следующим образом:

P= q02 p + 2q0 (q × p) +( p q)q +( p ×q) ×q =

=q02 p + 2q0 (q × p) +( p q)q +( p q)q −(q q) p =

=q02 p + 2q0 (q × p) + 2(qqT ) p −(q q) p =

=q02 Ip +2q0 Kp + 2Mp −(q q)Ip =

=(q02 I + 2q0 K + 2M −(q q)I ) p.

85

Введем следующую матрицу:

Используя это обозначение, равенство (3.44) может быть переписано следующим образом:

p = Rp.

Заметим, что матрица R является собственной ортогональной матрицей, т. е. принадлежит группе SO(3, R), так как преобразование, представляе-

мое этой матрицей сохраняет длину векторов и определитель матрицы равен единице. Из выражений для элементов матрицы R следует, что она может быть получена из любого из единичных кватернионов Q или −Q.

Следовательно, кватернионы Q и (−Q) представляют один и тот же по-

ворот.

Используя формулу (3.46), определим отображение g : HU 4 → SO(3, R),

где через HU 4 обозначим группу единичных кватернионов. Из этого определения видно, что

g(Q) = g(−Q)

для любого единичного кватерниона Q HU 4. Следовательно, любой поворот может быть представлен одним из двух единичных кватернионов Q или –Q.

Теорема. Отображение g является гомоморфизмом из группы единичных кватернионов HU 4 в группу собственно ортогональных матриц SO(3, R) , т. е. для произвольных единичных кватернионов P, Q HU 4 выполняется тождество

g(PQ) = g(P)g(Q).

Доказательство. Доказательство этой теоремы следует из формулы (3.45), которая описывает матричное представление поворота, соответствующего как единичному кватерниону, так и собственно ортогональной матрице.

86

Рассмотрим обратную задачу. Пусть задана собственно ортогональная матрица R. Нужно найти кватернион, соответствующий этой матрице. Координаты такого кватерниона можно найти аналогично параметрам Кэли – Клейна, как это было описано в разделе 3.7. Можно также показать, что формулы для нахождения координат кватерниона из собственно ортогональной матрицы задают гомоморфизм из группы собственно ортогональных матриц SO(3, R) в группу единичных кватернионов.

Пример. Рассмотрим единичный кватернион

Q = 22 + 42 i + 42 j + 12 k

и, используя формулу (3.46), найдем собственно ортогональную матрицу R, соответствующую этому единичному кватерниону. Получим

3.13. Геометрический смысл единичных кватернионов

Определим геометрический смысл единичного кватерниона. Для этой цели рассмотрим произвольный единичный кватернион

Q = cos ϕ2 +sin ϕ2 n,

где

n = n1i + n2 j +n3k

обозначает единичный вектор. Используя эти обозначения, координаты единичного кватерниона Q могут быть определены следующим образом:

Теперь подставим эти значения в выражения элементов собственно ортогональной матрицы R, структура которой задана формулой (3.46). Принимая во внимание, что координаты вектора n удовлетворяют условию

n12 + n22 +n32 =1,

87

получим следующие выражения для диагональных элементов матрицы R:

r11 = cos2 ϕ2 +sin2 ϕ2 (n12 − n22 − n32 ) =

=cos2 ϕ2 +sin2 ϕ2 (2n12 −1) = cos2 ϕ2 −sin2 ϕ2 + 2n12 sin2 ϕ2 =

=cos ϕ+ n12 (1 − cos ϕ) = n12 +(1− n12 )cos ϕ

ианалогично

Далее, используя тригонометрические тождества, получим следующие выражения для недиагональных элементов матрицы R:

и аналогично

r13 = n1n3 (1−cosϕ) + n2 sin ϕ, r31 = n3n1(1− cosϕ) − n2 sin ϕ, r23 = n2n3 (1− cosϕ) − n1 sin ϕ, r32 = n3n2 (1−cosϕ) + n1 sin ϕ.

В результате получили, что собственно ортогональная матрица R имеет следующую структуру:

ничный кватернион

Q = cos ϕ2 +sin ϕ2 n

представляет поворот вокруг оси n на угол ϕ.

Теперь определим геометрический смысл произведения двух единичных кватернионов. Для этой цели рассмотрим преобразование произвольного вектора p последовательно двумя единичными кватернионами Q1 и Q2. Получим

p = Q2Q1 pQ1 Q2 = (Q2Q1) p(Q2Q1) .

88

Из этого равенства следует, что произведение единичных кватернионов (Q2Q1) соответствует композиции поворотов, которые представляются

единичными кватернионами Q1 и Q2. Так как произведение единичных

кватернионов также является единичным кватернионом, то представление композиции поворотов через кватернионы дает простой способ определения оси и угла поворота, который является результатом этой композиции. Для определения этих параметров результирующего поворота рассмотрим два единичных кватерниона

и, используя формулу (2.2), найдем произведение кватернионов Q1 и Q2. Получим

Q2Q1 = (cos ϕ22 cos ϕ21 −sin ϕ22 sin ϕ21 n2 n1) +

+(cos ϕ22 sin ϕ21 n1 +cos ϕ21 sin ϕ22 n2 +sin ϕ22 sin ϕ21 n2 × n1).

Отсюда следует, что если

Q = Q2Q1 = cos ϕ2 +sin ϕ2 n,

то

cos ϕ2 = cos ϕ22 cos ϕ21 −sin ϕ22 sin ϕ21 n2 n1,

sin ϕ2 n = cos ϕ22 sin ϕ21 n1 +cos ϕ21 sin ϕ22 n2 +sin ϕ22 sin ϕ21 n2 × n1.

Из этих формул легко можно найти угол φ и ось n результирующего поворота.

Пример. Рассмотрим единичный кватернион

Очевидно, что единичный кватернион Q описывает поворот вокруг оси n

на угол π2 . Найдем собственно ортогональную матрицу R, соответст-

89